Tarea 16, Varias variables

Fecha de entrega: 29 de mayo

Problema 1

Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex n$, $latex u\in V$ y $latex W = \{u\}^\perp$. Muestra que, si $latex \{u_1, \ldots, u_{n-1} \}$ y $latex \{v_1, \ldots, v_{n-1} \}$ son dos bases de $latex W$ tales que

$latex [u, u_1, \ldots, u_{n-1} ] = [ u, v_1, \ldots, v_{n-1} ]$,

entonces

$latex [u_1, \ldots, u_{n-1} ] = [ v_1, \ldots, v_{n-1} ]$.

(Sugerencia: Escribe cada $latex v_i$ en la base $latex \{u_j\}$ y muestra que el determinante de la matriz de cambio de base es positivo.)

Problema 2

Sea $latex M^{n-1}\subset\R^n$ una variedad diferenciable con orientación $latex \mu$. Para cada $latex p\in M$, definimos el vector normal $latex \nu_p\in(M_p)^\perp\subset\R^n$ como el vector unitario tal que

$latex [\nu_p, (v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p]$

es la orientación estándar de $latex \R^n$, para cualquier base $latex \{(v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p\}$ de $latex M_p$ tal que

$latex [(v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p] = \mu_p$.

Muestra que el elemento de volumen en $latex M$ está dado por

$latex dV(x)((v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p) = \det\begin{pmatrix}\nu_x & v_1 & \cdots & v_{n-1}\end{pmatrix}.$

Problema 3

Sea $latex A\subset\R^n$ abierto, $latex g:A\to\R$ continuamente diferenciable y $latex g'(x)\not=0$ en cada $latex x\in A$. Calcula $latex dV$ en la variedad diferenciable $latex M = g^{-1}(0)$.

Problema 4

Considera la gráfica $latex M$ de la función continuamente diferenciable $latex f:A\to\R$, donde $latex A$ es abierto en $latex \R^n$. Muestra que, en $latex M$,

$latex f^*dV = \sqrt{1 + (D_1f)^2 + \ldots + (D_nf)^2} dx.$

Problema 5

Calcula el área del cilindro compacto

$latex C = \{ (x,y,z)\in\R^3: x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1 \}.$