Tarea 11, Varias variables

Fecha de entrega: 24 de abril

Calcula el producto cuña $Latex \phi \wedge \psi$ de las siguientes 1-formas en $Latex \mathbb R^3$.

a) $Latex \phi = 3dx+dz, \quad \psi=dy-dz$;

b) $Latex \phi=dx-dy+2dz,\quad \psi=3dx-4dy-2dz$.

Escribe el resultado en la base $Latex dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx\wedge dy$.

Calcula el diferencial $Latex d\omega$ de las siguientes 1-formas diferenciales en $Latex \mathbb R^3$

a) $Latex \omega(x,y,z)=(z^2-x ^2)dx+(y^2-z^2)dy+(x^2-y^2)dz$;

b) $Latex \omega(x,y,z)=(3x^2-y^2z)dx-2xyzdy-xy^2dz$.

Calcula $Latex \omega\wedge\eta$, para las siguientes formas diferenciales en $Latex \mathbb R^3$.

a) $Latex \omega=xdx-ydy,\quad \eta=zdz\wedge dy+xdy\wedge dz$;

b) $Latex \omega=dx+dy+dz,\quad \eta=dx\wedge dy+dx\wedge dz+dy\wedge dz$;

c) $Latex \omega=zdx\wedge dy+xdy\wedge dz,\quad \eta=\omega$.

Sea $Latex \omega$ la 2-forma diferencial en $LAtex \mathbb R^{2n}$ dada por

$Latex \displaystyle \omega=dx^1\wedge dx^2+dx^3\wedge dx^4 + \hdots + dx^{2n-1}\wedge dx^{2n}$.

Calcula

$Latex \displaystyle \overbrace{\omega\wedge\omega\wedge\hdots\wedge\omega}^{\text{n veces}}$.

Para una $Latex k$-forma diferencial $Latex \omega$ en $Latex \mathbb R^n$, definimos la $Latex (n-k)$-forma diferencial de $Latex \ast\omega$ como

$Latex \displaystyle \ast\omega =\sum_I \text{sgn}(I,J)\omega_I dx^J$

donde $Latex (I,J)=(i_1,i_2,\hdots,i_k,j_1,j_2,\hdots,j_{(n-k)})$ es la permutación en $Latex S_n$ tal que

$LAtex \displaystyle i_1<i_2<\cdots <i_k \quad\mbox{y}\quad j_1<j_2<\cdots<j_{(n-k)}.$

Calcula $Latex \ast\omega$ para las siguientes formas diferenciales.

a) La 2-forma diferencial en $Latex \mathbb R^3$ dada por

$Latex \displaystyle \omega=\omega_{12}dx\wedge dy + \omega_{13}dx\wedge dz + \omega_{23}dy\wedge dz$.

b) La 1-forma diferencial en $Latex \mathbb R^2$ dada por

$Latex \displaystyle \omega=\omega_1dx+\omega_2dy$.

Además, muestra que $Latex \ast\ast\omega = (-1)^{k(n-k)}\omega$.