Tarea 5, Varias variables

Fecha de entrega: 27 de febrero

Problema 1

Si extendemos la definición de derivadas direccionales a vectores $latex u$ no necesariamente unitarios, demuestra que satisfacen

$latex D_{tu}f(x_0) = t D_uf(x_0)$

y

$latex D_{u+v}f(x_0) = D_u f(x_0) + D_v f(x_0),$

si $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$.

Problema 2

Si $latex f:U\to\R$ tiene un mínimo local en $latex x_0$ y sus derivadas parciales existen, muestra que $latex D_if(x_o)=0$ para cada $latex i=1,\ldots,n$.

Problema 3

Muestra que, si $latex U\subset\R^n$ es abierto, $latex f:U \to \R$ es tal que sus derivadas parciales existen en cada $latex x\in U$, $latex x_0\in U$, y $latex t\in\R$ es tal que

$latex (x_0^1, \ldots, x_0^i + s, \ldots, x_0^n) \in U$

para todo $latex s\in[0,t]$ (o $latex s\in[t,0]$, si $latex t<0$), entonces existe $latex c$ entre $latex x_0^i$ y $latex x_0^i+t$ tal que

$latex f(x_0^1,\ldots,x_0^i+t,\ldots,x_0^n) - f(x_0^1,\ldots,x_0^i,\ldots,x_0^n) = t D_if(x_0^1,\ldots,c,\ldots,x_0^n).$

Problema 4

Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f:U\to\R^n$ inyectiva y continuamente diferenciable tal que $latex \det f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in U$. Muestra que $latex f(U)$ es abierto y $latex f^{-1}:f(U)\to U$ es diferenciable.

Muestra además que $latex f(V)$ es abierto para todo $latex V\subset U$ abierto.

Problema 5

Sea $latex f:\R^n\to\R^n$ continuamente diferenciable tal que existe $latex c>0$ tal que

$latex |f(x) - f(y)| \ge c|x-y|$

para todo $latex x,y\in\R^n$. Muestra que

1. $latex f$ es inyectiva;


2. $latex \det f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in\R^n$; y


3. $latex f(\R^n) = \R^n$. (Sugerencia: Como en la demostración del teorema de la función inversa, considera la función $latex g(x) = |y - f(x)|^2$.)