Tarea 6, Varias variables

Fecha de entrega: 6 de marzo

Problema 1

1. Sea $Latex f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ continuamente diferenciable. Muestra que $Latex f$ no es inyectiva. (Sugerencia: Considera la función $Latex g(x,y) = (f(x,y),y).$)


2. Generaliza este resultado a funciones continuamente diferenciables $Latex f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,$ con $Latex m<n$.

Problema 2

1. Muestra que si $Latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface $Latex f'(x)\neq 0$ para todo $Latex x\in\mathbb{R}$, entonces $Latex f$ es inyectiva.


2. Sin embargo, muestra que $Latex f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dada por

 $Latex \displaystyle f(x,y) = (e^x\cos{y},e^x\sin{y})$

satisface $Latex \det f'(x,y)\neq 0$ para todo $Latex (x,y)\in\mathbb{R}^2$, pero no es inyectiva.

Problema 3

Sea $Latex K\subset\mathbb{R}^n$ un conjunto convexo cerrado no vacío tal que $Latex \mathbb{R}^n\setminus K\neq\emptyset$ es convexo. Muestra que $Latex K$ es un semiespacio cerrado.

Problema 4

Sean $Latex f,g:K\to\mathbb{R}$ convexas y sea $Latex h: K\to \mathbb R$ dada por

$Latex \displaystyle h(x) = \max\{f(x),g(x)\}.$

Muestra que $Latex h$ es convexa.

Problema 5

1. Sea $Latex f:(a,b)\to\mathbb R$ doblemente diferenciable. Entonces $Latex f$ es convexa si, y solo si, $Latex f''(x)\ge 0$ para todo $Latex x\in (a,b).$


2. Sea $Latex a,b>0$ y $Latex 0<t<1.$ Muestra que

$Latex \displaystyle a^{1-t}b^t \le(1-t)a+tb.$

(Sugerencia: Muestra que la función $Latex t\mapsto a(b/a)^t$ es convexa utilizando el ejercicio anterior.)

1. Utiliza el ejercicio anterior para demostrar la desigualdad de Hölder: si $Latex x,y \in\mathbb{R}^n,$ y $Latex p,q>1$ son tales que $Latex \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1,$ entonces

$Latex \displaystyle \sum_{i=1}^{n} |x^iy^i| \le \Big(\sum_{i=1}^{n} |x^i|^p\Big)^{1/p}\Big(\sum_{i=1}^{n} |x^i|^q\Big)^{1/q}.$