Tarea 2, Varias variables

Fecha de entrega: 6 de febrero

Problema 1

Sea $latex (x_k)$ una sucesión en $latex \R^n$ tal que  $latex x_k\to L$ y $latex x_k\to M$. Muestra que $latex L = M$.

Problema 2

1. Si $latex (x_k)$ es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada.


2. Sea $latex (x_k)$ una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge, digamos $latex x_{k_l} \to L$. Muestra que $latex x_k\to L$.


3. Concluye que toda sucesión de Cauchy en $latex \R^n$ converge. (Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass.)

Problema 3

Considera, en $latex \R^n$, la cubierta $latex \{A_n\}_n$ definida por

$latex A_n = \{ x\in\R^n: \dfrac{1}{2n} < |x| < \dfrac{3}{2n}\},$

para la bola punteada $latex B_1^*(x) = \{ x: 0 < |x| \le 1 \}$. Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas.

Problema 4

1. Sean $latex A_1\supset A_2\supset\ldots$ compactos no vacíos en $latex \R^n$. Muestra que $latex \bigcap_i A_i \not=\emptyset.$


2. Muestra que el enunciado anterior es falso si los $latex A_i$ son solo cerrados.

Problema 5

1. Muestra que, si $latex x\in\R^n$ y $latex E\subset\R^m$ es compacto, entonces $latex \{x\}\times E$ es compacto en $latex \R^{n+m}$.


2. Concluye que, si $latex E\subset\R^n$ y $latex F\subset\R^m$ son compactos, entonces $latex E\times F$ es compacto en $latex \R^{n+m}$.