Tarea 4, Varias variables

Fecha de entrega: 20 de febrero

Problema 1

Si $latex f:U\to\R^m$ es diferenciable en $latex x_0\in U$, entonces es continua en $latex x_0$.

Problema 2

Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f,g:U\to\R$ tales que $latex f$ es continua en $latex x_0\in U$, $latex g$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex g(x_0) = 0$. Muestra que $latex fg$ es diferenciable en $latex x_0$.

Problema 3

Calcula la derivada y el Jacobiano de cada una de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena.

1. $latex (x,y) \mapsto (x^2 - y^2, 2xy)$, en cada punto $latex (x_0, y_0)\in\R^2$


2. $latex (x,y) \mapsto (\sen(x^2 + xy + y^2), e^{xy} )$, en cada punto $latex (x_0,y_0)\in\R^2$

Problema 4

Decimos que $latex f:\R^n\to\R$ es homogénea de grado $latex \alpha$ si $latex f(tx) = t^\alpha f(x)$, para $latex x\in\R^n, t>0$. Si, además, $latex f$ es diferenciable, muestra la fórmula de Euler

$latex \displaystyle\sum_{i=1}^n x^i D_if(x) = \alpha f(x)$.

Problema 5

Si $latex f:\R^n\to\R$ es diferenciable y $latex f(0)=0$, demuestra que existen $latex g_i:\R^n\to\R$ tal que

$latex \displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^n x^i g_i(x)$.