Tarea 1, Varias variables

Fecha de entrega: 30 de enero

Problema 1

1. Muestra la desigualdad del triángulo inversa: si $latex x,y\in\R^n$,
   $latex \big| |x| - |y|\big| \le |x-y|.$


2. Demuestra la identidad del palalelogramo: si $latex x,y\in\R^n$,
   $latex |x|^2 + |y|^2 = \frac{1}{2}\big(|x+y|^2 + |x-y|^2 \big).$

Problema 2

Muestra que, si $latex x_1,x_2\in\R^n$, el conjunto

$latex \{x\in\R^n: |x - x_1| = |x - x_2| \}$

es un hiperplano.

Problema 3

Muestra que la intersección de dos rectángulos en $latex \R^n$ es vacía o es otro rectángulo.

Problema 4

1. Muestra que si $latex \{U_\alpha\}$ es una colección de conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la unión $latex \bigcup_\alpha U_\alpha$ es un conjunto abierto.


2. Muestra que si $latex U_1,U_2,\ldots,U_k$ son conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la intersección $latex \bigcap_{i=1}^k U_i$ es un conjunto abierto.

Problema 5

Muestra que, para cualquier $latex A\subset\R^n$, $latex \fr A = \bar A \cap \overline{(\R^n \setminus A)}$.