Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de noviembre Problema 1 Verifica que $Latex \displaystyle f(x,y,z,t) = \sin\big(k_1(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)+k_2\big)$ satisface la ecuación de derivadas parciales $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 2 Muestra que si $Latex g$ es una función dos veces diferenciable, $Latex \vec u = (u_1,u_2,u_3)$ es un vector unitario, y si $Latex f(x,y,z,t) = g(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)$, entonces $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 3 Sea $Latex \phi$ un campo escalar que depende solo de $Latex x, z$, y $Latex t$ y satisface la ecuación de d'Alembert: $Latex \displaystyle \square^2 \phi =0$. Muestra que $Latex \vec B=(0,-c^2\partial\phi/\partial t,0)$ y $Latex \vec E = (\partial\phi/\partial z,0,-\partial\phi/\partial z)$ satisfacen las ecuaciones de Maxwell en la ausencia de cualquier carga o corriente. Problema 4 Sea $Latex \displaystyle \Phi = \sin\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+z)-ct\Big)dzdxdt$. Verifica que $Latex \Phi$ es cerrada y satisface $Latex \displaystyle \e...

Fecha de entrega: 21 de noviembre Problema 1 Una carga puntual se localiza en el punto $latex (0,0,2)$. Encuentra el flujo del campo eléctrico $latex \mathbf E$ producido por esta carga a través del disco $latex \{(x,y,z): x^2+y^2\le 1, z=0\}.$ Problema 2 Averigua la falacia del siguiente argumento, que supuestamente demuestra que  no existen los campos magnéticos : Sea $latex \vec B$ un campo magnético. Empezamos del hecho que $latex \vec B$ es incompresible, por lo que $latex \nabla\cdot\vec B = 0$. Como un campo incompresible es el rotacional de un campo vectorial, $latex \vec B = \nabla\times\vec A.$ Entonces $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A\cdot\hat n d\sigma = \int \vec B\cdot \hat n d\sigma=\int \nabla\cdot\vec B dV = 0,$ donde hemos usado el teorema de Gauss. Por el teorema de Stokes, $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A \cdot\hat n d\sigma=\oint \vec A\cdot d\vec r,$ y entonces $latex \displaystyle \oint \vec A \cdot d\vec r = 0.$ Como un campo irrotacional...

Fecha de entrega: 14 de noviembre Problema 1 Usa el teorema de Stokes para evaluar las siguientes integrales. En cada caso, determina la dirección en la cual es necesario orientar $latex C$ para obtener un valor positivo. a) $Latex \displaystyle \oint_C ydx+(2x-z)dy+(z-x)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$  es la intersección de $Latex x^2+y^2+z^2=$ y $Latex z=1$. b) $Latex \displaystyle \oint_C (y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$ es formada por la intersección de $Latex x+2y+3z=4$ con los planos $Latex x=3, y=2$ y, $latex z=1$, respectivamente. Hint: $Latex C$ es la frontera de un triángulo. Encuentra el pullback de este triángulo al triángulo fundamental en el espacio $Latex uv$. Problema 2 Verifica que las imagenes del campo vectorial $Latex \vec F(0,e^{-x^2},0)$ son paralelas, pero su rotacional no es $Latex \vec 0$. Explica por qué una hoja empujada por el flujo descrito por el campo vectorial, rota sobre sí misma. Problema 3 Encuentra un campo pot...

Fecha de entrega: 7 de noviembre Problema 1 Determina cuáles de las siguientes formas son cerradas: $Latex (2xy+y^2)dx+(2xy+x^2)dy$, $Latex y^2dx+(2xy+z^2)dy+2yzdz$, $Latex (xdx+ydy+zdz)/(x^2+y^2+z^2)$. Problema 2 Determina cuáles de las 1-formas del problema anterior son exactas. Para aquellas que lo son, encuentra un campo escalar del cual la forma es el diferencial. Si la forma no es exacta, encuentra dos trayectorias con los mismos extremos donde las integrales de línea sean diferentes. Problema 3 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C x^3ydx+xydy,$ donde $Latex C$ es el cuadrado con vertices en $Latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)$. Problema 4 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C ydx+x^2dy,$ donde $Latex C$ es la parabola $Latex y=x^2$ de $Latex (-1,1)$ a $Latex (1,1)$ junto con la recta de $Latex (1,1)$ a $Latex (-1,1)$. Problema 5 Si un fluido tiene vector de velocidad $Latex (3x^2-y^2,x^2+3y^2)$ en el punto $Latex (x,y)...

Fecha de entrega: 31 de octubre Problema 1 Encuentra los extremos de $latex f$ bajo las condiciones dadas. $latex f(x,y) = x^2+y^2, \quad x^3-xy^2=1$ $latex f(x,y) = 2x+3y, \quad x^2-2xy+2y^2=1$ $latex f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2, \quad (x-y)^2=1, \quad xyz = 1$ Problema 2 Encuentra el punto en la cónica $latex x^2-xy+y^2=1$ más cercano al origen. Problema 3 Encuentra el punto en la intersección de $latex (x+1)^2+(y-3)^2+(z-12)^2=4$ y $latex x-2y+z=5$ más cercano al origen. Encuentra también el punto más lejano. Problema 4 Encuentra las dimensiones desconocidas del paralelepípedo rectángulo de volumen máximo con aristas paralelas a los ejes inscrito en la elipsoide $latex x^2 + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$.

Fecha de entrega: 24 de octubre Problema 1 Usa diferenciación implícita para expresar $Latex dy / dx$ como función de $Latex x$ y $Latex y$. $Latex x^2 y + x^3 y^4 =1$, $Latex x e^y + y e^x = 2e$. Problema 2 Encuentra $Latex \partial y /\partial x$ en el punto especificado, si existe. $Latex x^3 + y^3 + z^3 = 10$ en $Latex (1,2,1)$, $Latex (x^2 + y^2)/(y^2 + z^2) = 1$ en $Latex (-1,3,1)$, $Latex \log(xyz) = 3$ en $Latex (e,e^2,1)$, $Latex \sin x \cos y - \cos y\sin z = 0$ en $Latex (\pi,0,\pi/2)$. Problema 3 Sean $Latex x, y, u, v$ tales que $Latex \begin{array}{rcl} xy &=& 2e^{uv},\\x+y &=& e^{u+v}.\end{array}$ Encuentra $Latex \partial x/\partial u$ considerando $latex v$ constante en el punto $Latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Después, calcula $Latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto tomando $latex y$ constante. Problema 4 Sean $Latex x, y, r, \theta$ relacionados por $Latex \begin{array}{rcl} x&=&r\cos\theta,\\y&=&r\sin\theta.\end...

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S x dydz - z dzdx + z^2 dxdy$ para cada una de las siguientes superficies $latex S$, con orientación alejándose del origen. El hemisferio superior $latex S = \{(x,y,z): x = \cos\theta\cos\varphi, y = \sen\theta\cos\varphi, z = \sen\varphi,$ $latex 0 \le \theta \le 2\pi, 0\le \varphi \le \pi/2\}$. El cono hacia abajo con vértice en $latex (0,0,3)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = 3 - 3r,$ $latex 0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi\}$ El paraboloide hacia arriba cno vértice en $latex (0,0,-2)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = -2 + 2r^2,$ $latex 0\le r \le 1, 0\le \theta \le 2\pi\}$ Problema 2 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S y^2 dydz + 2z dzdx - dxdy$ para cada una de las superficies $latex S$ del problema anterior. Problema 3 Muestra que, si la superficie $latex S$ está descrita por $latex S = \{(x,y,z): z = f(x,y), (x,y)\in R\}$,...

Fecha de entrega: 10 de octubre Problema 1 Para los siguientes pares de una función vectorial, $Latex \vec r(t)$, y un campo escalar, $Latex f(\vec x)$, sea $Latex F(t) = f(\vec r(t))$. Encuentra $Latex F'(t)$. $Latex f(x,y) = x^y$, $Latex \;\vec r(t) = (t^2,\log t)$, $Latex f(x,y) = xy\tan z$, $Latex \;\vec r(t) = (\cos t,\sin t,t)$. Problema 2 Encuentra $Latex \dfrac{\partial f}{\partial u}$ y $Latex \dfrac{\partial f}{\partial v}$ para cada una de las siguientes funciones. $Latex f(x,y) = x^2+xy$, $Latex \;x = v e^u$, $Latex \;y = u e^v$, $Latex f(x,y) = x\log (x^2+y^2)$, $Latex \;x = u^2-v^2$, $Latex \;y = u^2+v^2$. Problema 3 Para cada uno de los siguientes campos escalares, encuentra la dirección en la cual su derivada es máxima. $Latex f(x,y) = \log(x^2+2y^2)$ en $Latex (-1,1)$, $Latex f(x,y,z) = \sin xy-\cos xz$ en $Latex (\pi,1/2,1)$. Problema 4 Encuentra la ecuación del plano tangente a cada una de las superficies siguientes en el punto indicado. $Latex x^2+...

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Indica cuántas raíces reales tiene cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 4$ $latex x^3 + 2x -6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ Problema 2 Encuentra una raíz real de cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ $latex 2x^3 - x + 2$

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Examinando el discriminante, determina la existencia y cantidad de raíces reales a los siguientes polinomios. $Latex 2x^2-8x+8$ $Latex x^2-3x+2$ $Latex x^2-4x+5$ $Latex 9x^2+6x+1$ $Latex x^2+6x+13$ $Latex x^2-9$ Problema 2 Encuentra el punto máximo o mínimo de cada uno de los polinomios anteriores. Problema 3 Utilizando los resultados obtenidos en los problemas anteriores haz un bosquejo de cada uno de polinomios del problema 1. Indica el valor donde se alcanza el máximo o mínimo e indica también las raíces de cada polinomio.

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Encuentra las soluciones racionales a los siguientes polinomios.  $Latex 5x^3-3x^2-7x-2$ $Latex 14x^4-37x^3+19x^2-37x+5$ $Latex 15x^4-3x^3-8x^2+6x-4$ Problema 2 Demuestra que $Latex 3x^n = 91$ no tiene raíces racionales para ningún $Latex n>1$. Problema 3 Demuestra utilizando el criterio de Eisenstein que los siguientes polinomios son irreducibles. $Latex x^3-3x-1$ $Latex x^3+x^2-2x-1$ $Latex x^4-42x^2+21x+56$

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} = 0$ mostrando que, dado $latex \e>0$, existe $latex \delta>0$ tal que si $latex |(x,y)-(1,0)| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}<\delta$ entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big| < \e$. Sigue los siguientes pasos. Muestra que $latex |(x,y)-(1,0)|<\delta$ implica que $latex -\delta<y<\delta$ y $latex 1-\delta<x<1+\delta$. De las desigualdades anteriores, concluye que, si $latex 0<\delta<1$, entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big|<\dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}.$ Utiliza el punto anterior para encontrar $latex \delta$ en función de $latex \e$. Problema 2 Extiende la función $latex f(x,y) = \dfrac{\sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, \; (x,y)\not=(0,0)$, al punto $latex (0,0)$ de tal manera que sea continua en ese punto. Problema 3 Averigua si las siguientes funciones son continuas en $latex (0,0)$. $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2-y...

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Considera los polinomios $latex f = x^3-x+1, \quad g = x^4-x^3+2x^2+2x-3, \quad h = 2x^4-x^2+1.$ Calcula los siguientes polinomios. $latex f + g$ $latex x^2f - xg$ $latex fg$ $latex g + 2h$ $latex h - 2g$ $latex fh$ $latex f(2g-h)$ $latex gh$ $latex 4g + 3h$ $latex 2x^3g - fh$ Problema 2 Sean $latex f, g, h$ los polinomios del problema anterior. Calcula polinomios $latex q_1, r_1$ tales que $latex g = q_1f+r_1$ y el grado de $latex r_1$ es menor que el grado de $latex f$. Calcula polinomios $latex q_2, r_2$ tales que $latex h = q_2f+r_2$ y el grado de $latex r_2$ es menor que el grado de $latex f$. Problema 3 Calcula el máximo común divisor de las siguientes parejas de polinomios. $latex x^3 + 2x^2 - 4x - 3,\; 2x^4+5x^3-3x^2-3x-9$ $latex x^4-x^3+x^2-2x-2, \; x^5-2x^4+2x^3-7x^2-6$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $latex \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $latex \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $latex A+B$ $latex 2A-B$ $latex AC$ $latex AD$ $latex BC$ $latex BD$ $latex C^2$ $latex CD$ $latex DA$ $latex DB$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex \begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua cuáles de las siguientes transformaciones del plano son lineales. En tal caso, calcula su matriz y su determinante. Cizalla: $latex (x,y) \mapsto (x+cy, y)$, para alguna constante $latex c$ Traslación: $latex (x,y)\mapsto (x+a,y+b)$, para $latex a,b$ constantes Explosión: $latex (x,y) \mapsto (ax,by)$, para $latex a,b$ constantes Rotación: si $latex x=r\cos\theta$ y $latex y=r\sen\theta$, entonces $latex (x,y)\mapsto (r\cos(\theta+\varphi),r\sen(\theta+\varphi))$, para alguna constante $latex \varphi$ Proyección: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x \mapsto \vec x_r = \dfrac{\vec x\cdot\vec r}{r^2}\vec r$ Reflexión: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x\mapsto \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$ Problema 2 Calcula el determinante de las siguientes matrices. $latex \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&1...

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Para las siguientes ecuaciones, haz un bosquejo de la recta y encuentra su pendiente. $latex 2x -3y + 1 = 0$ $latex 2x=2$ $latex 2x + 4y = 1$ Problema 2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex 2x+y=1\quad 3x-y=1$ $latex -x-2y=2\quad 3x+6y=6$ $latex 2x-6y=0\quad 3x-2y=1$ $latex -5x+2y=-2\quad 8x-y=1$ $latex 2x+y=4\quad-4x-2y=-8$

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 - z - 1 + i = 0$ $latex z^2 - iz - 1 - i = 0$ $latex z^2 + (1+i)z + 10 + 11i = 0$ Problema 2 Factoriza $latex x^4+1$ en polinomios con coeficientes reales.

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Calcula explícitamente, en coordenadas cartesianas, las raíces sextas de la unidad. Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 = -2+2i$ $latex z^3 = -i$ $latex z^4 = -1$ $latex z^3 = -8+8i$ $latex z^2 = -4i$