Ricardo A. Sáenz

Esta es una lista de las principales ideas vistas en el curso, y que sirve como referencia para prepararse para cualquiera de los exámenes finales (ordinario, extraordinario, regularización). Números reales Propiedad arquimidiana Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Convergencia condicional Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex limsup$  Teorema de Abel Series de Fourier Núcleo de Dirichlet Lema de Riemann Teorema de Dirichlet Teoremas del cálculo V...

Como se establece en el programa del curso, 50% de la calificación ordinaria consiste en el desarrollo de un proyecto final. El proyecto debe ser entregado el 9 de diciembre, antes del examen ordinario escrito. A continuación, la lista de proyectos finales a desarrollar. Continuidad de funciones aditivas Fernando Cedeño Teorema de Tauber Carolina Estévez Incontabilidad de los reales Uri Gallegos Funciones trigonométricas Cristina Núñez

El segundo examen parcial es este viernes, y aquí tienen una guía del material cubierto que puede ayudarles a prepararse. Completitud de los reales Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Criterios de convergencia por comparación Criterios del cociente y la raíz Criterio de condensación de Cauchy; criterio p Criterio de la integral Convergencia condicional Series alternantes Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series hipergeométricas Criterio de Gauss Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M  de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex ...

Fecha de entrega: 29 de noviembre Problema 1 Sean $latex f, g$ continuas en $latex [a,b]$ tales que $latex \displaystyle \int_a^b f = \int_a^b g$. Muestra que existe $latex c\in[a,b]$ tal que $latex f(c) = g(c)$. Problema 2 Sea $latex \phi:[a,b]\to[c,d]$ diferenciable, inyectiva y creciente, tal que $latex \phi(a) = c$ y $latex \phi(b) = d$. Si $latex f$ es integrable en $latex [c,d]$, entonces $latex (f\circ\phi)\phi'$ es integrable en $latex [a,b]$ y  $latex \displaystyle \int_c^d f(x) dx = \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t) dt$. Problema 3 Sean $latex f,g$ integrables en $latex [a,b]$. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b fg \Big)^2 \le \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2$. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b (f+g)^2 \Big)^{1/2} \le \Big( \int_a^b f^2 \Big)^{1/2} + \Big( \int_a^b g^2 \Big)^{1/2}$ Problema 4 Sea $latex f$ periódica en $latex \mathbb R$, con periodo $latex T$, e integrable en $latex [0,T]$. Entonces, para cualquier $latex a...

Fecha de entrega: 22 de noviembre Problema 1 Sean $latex f, g$ diferenciables en $latex [a,b]$ tales que $latex f', g'$ son integrables. Muestra que $latex f'g, fg'$ son integrables y $latex \displaystyle \int f'g = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int g'f.$ Problema 2 Sea $latex f$ integrable en $latex [a,b]$ tal que $latex 1/f$ es acotada. Muestra que $latex 1/f$ es integrable en $latex [a,b]$. Problema 3 Sea $latex f$ continua en $latex [0,1]$ y, para cada $latex n$, define en $latex [0,1]$ la función $latex g_n(x) = f(x^n)$. Muestra que $latex \displaystyle \int g_n \to f(0).$ Problema 4 Muestra que $latex \displaystyle \frac{1}{3\sqrt 2} \le \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx \le \frac{1}{3}$. Problema 5 Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$ y $latex M$ su valor absoluto máximo. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int |f|^n \Big)^{1/n} \to M$.

Fecha de entrega: 15 de noviembre Problema 1 Muestra de manera directa que, si $latex f$ es continua en $latex [a,b]$, entonces $latex L(f) = U(f)$. Problema 2 Muestra que, si $latex f$ es acotada y continua en $latex [a,b]$ excepto en un punto $latex x_0\in[a,b]$, entonces $latex L(f) = U(f)$. Problema 3 Considera la función $latex f(x) = x$ en $latex [a,b]$. Muestra que, para cualquier partición $latex \mathcal P$,  $latex L(f,\mathcal P) \le \dfrac{b^2-a^2}{2} \le U(f,\mathcal P)$. Concluye que $latex \displaystyle \int f = \frac{b^2-a^2}{2}$. Problema 4 Sea $latex f$ integrable en $latex [0,1]$. Muestra que $latex \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n}\Big) \to \int f.$ Problema 5 Sea $latex f$ integrable en $latex [-a,a]$. Si $latex f$ es impar, muestra que $latex \displaystyle  \int_{-a}^a f = 0$. Si $latex f$ es par, muestra que $latex \displaystyle  \int_{-a}^a f = 2\int_0^a f$.

Fecha de entrega: 8 de noviembre Problema 1 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ definida en $latex [-\pi,\pi]$ como $latex F(x) = x, x\in(-\pi, \pi)$, $latex F(\pm\pi)=0$. Averiguar si la serie converge en cada $latex x$. ¿Converge uniformemente? Problema 2 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ dada por $latex F(x) = x(x+\pi), x\in[-\pi,0]$, y $latex F(x) = x(\pi-x), x\in[0,\pi]$. De igual forma, discute la convergencia de la serie. También discute la convergencia de sus derivadas. Problema 3 Muestra las siguientes identidades, para $latex k,n\in\mathbb Z_+$. $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \cos n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$ $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin k x \sin n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$ $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \sin n x dx = 0$ Problema 4 Considera la función $latex f(x) = \sin...

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}$ es diferenciable en todo $latex x$. Problema 2 Sean $latex s_1, s_2, s_3, \ldots$ funciones acotadas tales que convergen a $latex F$. ¿Podemos concluir que $latex F$ es acotada? Si $latex s_n$ converge uniformemente a $latex F$, ¿podemos concluir que $latex F$ es acotada? Problema 3 Determina si las siguientes series convergen uniformemente en el conjunto dado. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^2 x^2 e^{-n^2|x|}$ en $latex \mathbb R$. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^n \sin\frac{1}{3^nx}$ en $latex (0,\infty)$. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{\pi}{2}-\arctan(n^2(1+x^2))\Big)$ en $latex \mathbb R$. Problema 4 Encuentra un ejemplo de una serie de potencias $latex \sum a_n x^n$ que converge en $latex x=R$ tal que la serie de derivadas $latex \sum na_nx^{n-1}$ no converge en $latex x = R$. Utiliza el e...

Fecha de entrega: 25 de octubre Problema 1 Considera la serie $latex \displaystyle 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \ldots = \frac{\pi}{4}$.  Muestra que la serie de términos positivos $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \ldots$ diverge. Considera el reordenamiento $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7} + \ldots = s$. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento $latex \displaystyle \Big(1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\Big) + \Big(\frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7}\Big) + \ldots$ para encontrar una cota inferior para el límite $latex s$ de la serie. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{13}\Big) - \Big(\frac{1}{7} - \frac{1}{17} - \frac{1}{21}\Big) - \ldots$ para encontrar una cota superior para el límite $latex s$ de la ser...

La demostración del criterio de Gauss, para la convergencia de series hipergeométricas, visto en clase la encuentran en la página de recursos del texto:  Resources for A Radical Approach to Real Analysis

Fecha de entrega: 18 de octubre Problema 1 Encuentra el conjunto donde las siguientes series de funciones convergen. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{2+(-1)^n}{5+(-1)^{n+1}}\Big)^n x^n$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^{n^2}x^{n!}$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\Big(\frac{2x+1}{x}\Big)^n$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt n (\tan x)^n$ Problema 2 Encuentra el radio de convergencia de la serie $latex \sum a_nx^n$ en cada uno de los siguientes casos. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n n^\alpha| \to L$. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n \alpha^n| \to L$. Existe $latex L>0$ tal que $latex |a_n n!| \to L$. Problema 3 Sea $latex a_n$ una sucesión de números positivos. Muestra que $latex \displaystyle \liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Problema 4 Explica por qué la serie $la...

Aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen de mañana. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud:  principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo teorema de Bolzano-Weierstrass Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y mínimo de una función continua Fermat: derivada cero en extremos  Valor...

Fecha de entrega: 11 de octubre Problema 1 Encuentra una serie divergente tal que los valores del primer millón de las sumas parciales $latex s_1, s_2, \ldots, s_{1,000,000}$ coinciden en los primeros 10 dígitos significativos. Problema 2 Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para mostrar que toda sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente. Si $latex x_n$ es una sucesión de Cauchy y $latex x_{n_k}$ es una subsucesión tal que $latex x_{n_k}\to L$, muestra que $latex x_n\to L$. Concluye que el teorema de Bolzano-Weierstrass es equivalente a las versiones del axioma de completitud vistas en clase. Problema 3 Es sabido que los números de Bernoulli satisfacen la estimación $latex B_{2k} \sim (-1)^{k-1}\dfrac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}$ (ver, por ejemplo, [ Weisstein , (41)]). Utiliza la estimación anterior para mostrar que la serie $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k-1)(2k)n^{2k-1}}$ vista en clase diverge para todo $latex n$. Pr...

Fecha de entrega: 4 de octubre Problema 1 Sea $latex f$ continua en $latex [0,2]$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,2]$ tales que $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) - f(b) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2}$. Sea $latex f$ continua en $latex [0,n]$, donde $latex n\in\mathbb Z_+$, tal que $latex f(0) = f(n)$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,n]$ tales que $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) = f(b)$. Problema 2 Sea $latex f$ diferenciable en $latex [a,b]$ tal que $latex f(a) = f(b) = 0$, $latex f'(a)>0$ y $latex  f'(b) > 0$. Muestra que existe $latex c\in(a,b)$ tal que $latex f(c) = 0$ y $latex f'(c) \le 0$. Problema 3 Sea $latex f$ continua en $latex [a,\infty)$ con $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)$ finito. Muestra que $latex f$ es acotada en $latex [a,\infty)$. Problema 4 Considera la función $latex f(x) = x...

Fecha de entrega: 27 de septiembre Problema 1 Para $latex x>-1, x\not=0$, muestra que $latex (1+x)^\alpha > 1 + \alpha x$, si $latex \alpha > 1$ o $latex \alpha < 0$; $latex (1+x)^\alpha < 1 + \alpha x$, si $latex 0 < \alpha < 1$. Problema 2 Muestra que cada una de las siguientes ecuaciones tiene exactamente una raíz real. $latex x^{13} + 7x^3 - 5 = 0$ $latex 3^x + 4^x = 5^x$ Problema 3 Explica el error en el siguiente uso de la regla de L'Hospital: si $latex f(x) = x^2\sin(1/x), g(x) = x$, entonces $latex f$ y $latex g$ son continuas, $latex f(0) = g(0) = 0$, y $latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1}$ no existe. Problema 4 Modifica la demostración de la regla $latex \infty/\infty$ de L'Hospital vista en clase para demostrar el siguiente enunciado: si $latex f,g$ son diferenciables en un intervalo que contiene a $latex x_...

Fecha de entrega: 20 de septiembre Problema 1 Muestra que el enunciado " todo conjunto acotado no vacío tiene supremo " implica el principio de intervalos encajados. Problema 2 Demuestra que si $latex f$ es diferenciable en $latex [a,b]$ y $latex f'$ es monótona en pedazos en $latex [a,b]$, entonces es $latex f'$ continua en $latex [a,b]$. Problema 3 Sea $latex p(x)$ un polinomio de grado al menos 2 cuyas raíces son reales y distintas. Demuestra que las raíces de $latex p'(x)$ tienen que ser reales. Explica qué pasa si algunas de las raíces de $latex p(x)$ son múltiples. Problema 4 Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$, diferenciable en $latex (a,b)$, y tal que $latex f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in(a,b)$. Muestra que $latex f(a)\not=f(b)$. Problema 5 Muestra que la aproximación $latex \sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2$ tiene un error de a lo más $latex |x|^3/2$, si $latex |x|<1/2$.

Fecha de entrega: 13 de septiembre Problema 1 Muestra los siguientes enunciados, utilizados en las demostraciones vistas en clase. Si $latex a_n < c < b_n$, $latex a_n\to L$ y $latex b_n\to M$, entonces $latex L \le c \le M$. Si $latex f$ es monótona en cada subintervalo $latex (x_{i-1},x_i)$, $latex i=1,2,\ldots,n$, de la partición $latex a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ del intervalo $latex [a,b]$, entonces es continua en cada $latex x_i$, $latex i = 1, 2, \ldots, n-1$. Si $latex a\not=0$ y $latex |a-b|<|a|$, entonces $latex a$ y $latex b$ tienen el mismo signo. Problema 2 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ continua en todo punto. Muestra que $latex f$ tiene un punto fijo, es decir, existe $latex c\in[0,1]$ tal que $latex f(c) = c$. Problema 3 Muestra que la función $latex \displaystyle f(x) = \begin{cases}1 & x \text{ racional}\\0 & x \text{ irracional}\end{cases}$ es discontinua en todo punto. Problema 4 Discute la continuidad de la fun...

Cauchy Pueden leer completo el texto de Cauchy Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique  (Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica) en Google Books:  Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique . Cauchy enuncia el teorema del valor intermedio en la página 43, Teorema 4 de la sección 2 del capítulo 2. Ahí da la idea de la demostración, pero la demostración rigurosa la incluye en la página 460, donde utiliza el principio de intervalos encajados que vimos en clase. Estudiaremos esta demostración la próxima semana. Pueden encontrar partes de la traducción al inglés aquí:  Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation El texto Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal también lo pueden leer en Google Books:  Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal . La demostración del teorema del valor medio (incorrecta) que discutimos en clase se encuentra en las páginas 27-28. La versión más general la discute en el apéndice, a partir de la ...

Fecha de entrega: 6 de septiembre Problema 1 Muestra que si $latex f$ es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0}f'(x)$ existe, entonces $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex \displaystyle f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}f'(x)$. ( Sugerencia:  Utiliza el teorema del valor medio en el intervalo de $latex x_0$ a $latex x$, para cada $latex x$.) Problema 2 Si $latex f$  y $latex g$ son diferenciables en $latex a$, encuentra $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x-a}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)g(a) - f(a)g(x)}{x-a}$ Problema 3 Sea $latex f$ diferenciable en $latex 0$, $latex f(0) = 0$, y $latex k\in\mathbb Z_+$. Encuentra, si existe, el valor de $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\Big( f(x) + f\Big(\frac{x}{2}\Big) + f\Big(\frac{x}{3}\Big) + \ldots + f\Big(\frac{x}{k}\Big)\Big).$ Problema 4 Sea $latex f$ diferenciable en $latex x_0$, y sean $latex x_n$ y $latex y_n$ sucesiones que con...

Fecha de entrega: 30 de agosto Problema 1 Demuestra, integrando por partes, la identidad de Bernoulli $latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt = xf(x) - \frac{x^2}{2!}f'(x) + \frac{x^3}{3!}f''(x) - \frac{x^4}{4!}f'''(x) + \ldots$. Demuestra que la identidad anterior se sigue de la serie de Taylor. ( Sugerencia:  Muestra primero que $latex \displaystyle f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0) = f^{(n+1)}(0)x + \frac{f^{(n+2)}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(n+3)}(0)}{3!}x^3 + \ldots$.) Problema 2 Encuentra el residuo de Lagrange para la serie binomial $latex \displaystyle (1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \ldots$. Simplifica el residuo para el caso $latex a=-1$ ¿Qué ocurre si $latex x=1$? ¿El residuo converge a 0 cuando $latex n\to\infty$? Problema 3 Indica cuál es el problema con el siguiente argumento: si $latex D_n(0,x)$ es el residuo de la serie geométrica $latex \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x̣^3 + \ldot...