Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Indica cuáles de los siguientes conjuntos, con la operación dada, es un grupo. Los números enteros con la operación resta. Los números racionales con la operación multiplicación. Los números reales positivos con la operación multiplicación. Problema 2 Construye la tabla del grupo multiplicativo $latex \Z^*_8$. ¿Es este grupo abeliano? ¿Es cíclico? Problema 3 Utiliza el teorema de Lagrange para demostrar que, si $latex |G|$ es primo, entonces $latex G$ es cíclico.

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Calcula la clase de congruencias de las siguientes potencias de enteros $latex 2^{82} \pmod 5$ $latex 3^{1502}\pmod{13}$ $latex 26^{1004}\pmod 7$ $latex 6^{654654654}\pmod{11}$ Problema 2 Para cada entero $latex a=1,2,3,4$, resuelve la congruencia $latex ax\equiv1\pmod 5$, o indica si no tiene solución. Repite el ejercicio para $latex a=1, 2, 3, 4, 5$ y $latex ax\equiv 1\pmod 6$. Problema 3 Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución. $latex 8x\equiv 4\pmod 6$ $latex 15x\equiv 6 \pmod{21}$

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros, usando el algoritmo de Euclides. 30 y 84 792 y 561 568 y 4292 227761 y 661643 Problema 2 Decide si las siguientes ecuaciones tienen solución con enteros $latex x$ y $latex y$ y, en tal caso, encuentra sus soluciones. $latex 25x + 40y = 345$ $latex 66x + 561y = 22$ $latex 3145x + 23001y = 4$ $latex 3145x + 23001y = -85$

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Muestra que si $latex 2^n-1$ es primo, entonces $latex n$ es primo. Problema 2 ¿La inversa del problema 1 es cierta? Si es cierto, demuéstralo. Si no, encuentra un contraejemplo. Problema 3 Verifica que los enteros de la forma $latex n^2-n+41$ son primos para $latex n=0,1,2,3,\ldots,40$. ¿Existe algún polinomio cuadrático $latex an^2+bn+c$, con $latex a,b,c\in\Z$, tal que su valor es un primo para todo $latex n\in\N$?

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Para cada una de las funciones $latex \vec r(t) = (t^2, -4t,-t^2)$   y   $latex \vec r(t) = (t\cos t, t\sen t, 1)$, calcula lo siguiente. $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$. $latex r(t)$ y $latex v(t)$. El coseno del ángulo entre $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$. ¿Para cuáles $latex t$ son estos vectores perpendiculares o paralelos? $latex \vec v\times\vec a$. La ecuación del plano osculatorio para cada $latex t$. La curvatura en cada $latex t$. Problema 2 Considera una partícula que se mueve sobre la elipse $latex r(2 + \cos\theta) = 2$, en el sentido opuesto a las manecillas del reloj alrededor del origen, y que barre una unidad de área por unidad de tiempo: $latex \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2}r^2\dfrac{d\theta}{dt} = 1$. Encuentra la velocidad y aceleración en términos de las coordenadas locales. Problema 3 Marte tiene un radio aproximado de 3300 km y una masa 0.15 veces la de la Tierra. Calcula la velocidad de escape en ...

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Muestra las siguientes propiedades de divisibilidad. Si $latex n,a,b\in\Z$ y $latex n$ divide a $latex a$, entonces $latex n$ divide a $latex ab$. Si $latex a,b,c\in\Z$, $latex a$ divide a $latex b$ y $latex b$ divide a $latex c$, entonces $latex a$ divide a $latex c$. Problema 2 Indica cuáles de los siguientes enteros son números primos. 365, 401, 451, 517, 533, 543, 575, 693, 797, 823, 917, 993, 1011, 1035, 1131, 1383, 1513, 1697, 1741, 1945. Problema 3 Encuentra números $latex q$ y $latex r$ tales que, para cada par de enteros $latex a,b$, $latex b>0$, dados, $latex a=bq+r$ y $latex 0\le r < b$. $latex a=100, b=17$ $latex a=0, b=8$ $latex a= -25, b=11$ $latex a=-2,b=2$

En clase, para demostrar el principio del buen orden, utilizamos el principio de inducción fuerte, que dice lo siguiente. Principio de inducción fuerte. Sea $latex K\subset\N$ tal que $latex 0\in K$ Si $latex 0,1,\ldots, n\in K $, entonces $latex n+1\in K $. Entonces $latex K=\N $. Para demostrar el principio de inducción fuerte, necesitaremos el siguiente lema. Lema. Para $latex n\in\N $, cualquier subconjunto no vacío de $latex \{0,1,\ldots, n\} $ tiene un mínimo. Demostración: Demostraremos este lema por inducción en $latex n $. Si $latex n=0$, el resultado es claro porque, si $latex S\subset\{0\} $ es no vacío, entonces $latex S=\{0\} $, y $latex 0$ es su mínimo. Suponemos ahora que el resultado es cierto para $latex n $, y sea $latex S\subset\{0,1,\ldots, n+1\} $ no vacío. Si $latex S\cap\{0,1,\ldots, n\} =\emptyset $, entonces $latex S=\{n+1\} $, y $latex n+1$ es el mínimo de $latex S $. Si $latex S\cap\{0,1,\ldots, n\} \not=\emptyset $, entonces es un subconjunto no vacío ...

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Muestra que, dados tres números naturales, la suma de dos de ellos es un número par. Problema 2 Demuestra, o da un contraejemplo, para el siguiente enunciado:  Cualquier conjunto $latex A$ de nueve números naturales contiene un subconjunto $latex B$ tal que la suma de los elementos de $latex B$ es un múltiplo de 10.

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Problema 2 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2.$ Problema 3 (Desigualdad de Bernoulli) Muestra que, para todo número natural $latex n>1$ y todo real $latex \alpha>-1, \alpha\not=0$, $latex (1 + \alpha)^n > 1 + n\alpha$.

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Sean $latex m$ y $latex n$ dos enteros. Muestra que los siguientes enunciados son equivalentes. $latex m^2-n^2$ es par, $latex m-n$ es par, $latex m^2+n^2$ es par. Problema 2 Muestra que $latex \forall m \in \mathbb{N}$, $latex \exists k \in \mathbb{N}$ tal que $latex (m-n)^2 > m^2$, $latex \forall n > k$. Problema 3 Un entero $latex z$ es un  elemento identidad aditivo en $latex \mathbb{Z}$ si $latex z+n = n$, para todo $latex n\in \mathbb{Z}$. Muestra que existe un único elemento identidad aditivo en $latex \mathbb{Z}$.

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Para cada uno de los siguientes pares de vectores, calcula su suma, producto interno y producto cruz. $latex (2, -3, 1), (6, 2, -3)$ $latex (5, -6, 1), (3, 2, -3)$ $latex (3, 0, -2), (-6, 0, 4)$ $latex (-2, 5, 1), (3, 0, 6)$ Indica en cuáles de los pares anteriores los vectores son paralelos o perpendiculares. Problema 2 Considera el plano $latex \mathcal P$ definido por la ecuación $latex x - 4y + 7z = 3$ Encuentra un vector perpendicular al plano. Encuentra dos vectores que generen a $latex \mathcal P$. Encuentra una representación paramétrica. Encuentra la distancia del punto $latex (1,1,1)$ al plano. Encuentra la ecuación del plano paralelo a $latex \mathcal P$, pero que pasa por el punto $latex (2,0,3)$. Problema 3 Muestra que $latex |\vec a + \vec b|^2 + |\vec a - \vec b|^2 = 2|\vec a|^2 + 2|\vec b|^2$. ¿A qué propiedad geométrica se refiere esta identidad?

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Sea $latex p(x) = ax^2+bx+c$. Muestra que $latex p(1)=p(-1)$ si, y solo si, $latex p(2)=p(-2)$. Problema 2 Muestra que $latex n^3+n$ es par para todo entero $latex n$. Problema 3 Muestra que, si $latex a,b,c$ son enteros, entonces el producto $latex (a-b)(a-c)(b-c)$ es par.

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Para cada una de las siguientes colecciones de conjuntos, determina si sus elementos son mutuamente disjuntos o encajados. También calcula la unión y la intersección de la colección. $latex \mathcal A = \{(n,n+1)|n\in\Z_+\}$ $latex \mathcal B = \{(-1/n,1/n)|n\in\Z_+\}$ $latex \mathcal C = \{(n,\infty)|n\in\N\}$ Problema 2 Muestra que $latex A\times(B\cap C) = (A\times B)\cap(A\times C)$.

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto vacío? ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto $latex \{ 1\}?$ Problema 2 Sea $latex S_1 = \{u,n,o\}$, $latex S_2 = \{d,o,s\}$, $latex S_3 = \{t,r,e,s\}$, y así sucesivamente. ¿Para qué valores de $latex k$ entre $latex 1$ y $latex 10$ se tiene que $latex |S_k|=4$? Encuentra el menor valor entero positivo $latex k$ tal que $latex a \in S_k$. Sea $latex \mathscr{G} = \{S_k\}_{k=1}^{10}$. Determina si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. $latex \{t,a,c,o\} \subset S_4$. $latex S_3 \subset \mathscr{G}$. $latex \varnothing \subset \mathscr{G}$. $latex \varnothing \in \mathscr{G}$. Problema 3 Sea $latex U$ el conjunto de las 52 cartas que constituyen la baraja estándar. Sea $latex E$ el conjunto de las cartas marcadas con espadas, $latex D$ el conjunto de diamantes, $latex A$ el conjunto de aces, y $latex R$ el conjunto de reyes. Dí que elementos pertenecen a los conjuntos mostr...

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Escribe cada enunciado utilizando los símbolos $latex \forall$ y $latex \exists$. Para todo número real positivo $latex \e$ existe un número real positivo $latex \delta$ tal que $latex x^2 < \e$ cuando $latex |x|<\delta$. Existe un entero $latex m$ con la propiedad de que para todo entero $latex x$ existe un entero $latex y$ tal que $latex xy=m$. Problema 2 Determina si cada enunciado es verdadero o falso, y da la negación de cada uno. $latex \exists a\in\R$ tal que $latex \forall x\in\N, a < x$ $latex \forall a\in\R, \sqrt{a^2} = a$ Problema 3 Considera las proposiciones $latex I=$ las tasas de interés bajan. $latex H = $ más gente compra casa. $latex S = $ la bolsa sube. $latex U = $ el desempleo aumenta. Escribe cada implicación, su inversa y su contrapositiva en palabras: $latex I\implies S$ $latex \sim U \implies H$ $latex S\implies (I\wedge H)$ Escribe cada uno de los siguientes enunciados en símbolos. ...

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Para $latex a\ge b > 0$,  $latex \theta\in[0,2\pi]$ fijos, definimos $latex G = G(\phi) = (a\cos(\theta + \phi), b\sen(\theta + \phi))$ $latex G' = G'(\phi) = (a\cos(\theta - \phi), b\sen(\theta - \phi))$. Nota que, en la notación vista en clase, $latex Q=G(\phi/2), Q'=G'(\pi/2)$. Muestra que la pendiente de $latex GG'$ es $latex (-b/a)\cot\theta$ para todo $latex \phi$. Así, $latex GG'$ es paralela a $latex QQ'$. Si $latex H$ en la elipse es tal que $latex GH$ es paralela a $latex QQ'$, entonces $latex H = G'$. Prueba la propiedad (ii) vista en clase usando el punto anterior, y mostrando que el punto medio de $latex GG'$ es igual a $latex M=\cos\phi(a\cos\theta,b\sen\theta)$. Prueba la propiedad  (iii) mostrando que $latex |PM||P'M| = \sen^2\phi |OP|^2$, y que $latex |GM|^2 = \sen^2\phi |OQ|^2$. Muestra que el área del triángulo $latex QOP$ es $latex ab/2$. Concluye la propiedad  (iv) ...

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones: P = "Natalia estudia"; Q = "Natalia saca buenas calificaciones"; R = "Natalia obtiene ayuda cuando la necesita". Escribe cada una de las siguientes proposiciones en símbolos. "Natalia estudia pero no saca buenas calificaciones". "Natalia obtiene ayuda cuando la necesita o no estudia". "Natalia estudia o no estudia, y obtiene buenas calificaciones". "Natalia estudia y obtiene ayuda cuando la necesita, o no obtiene buenas calificaciones". Problema 2 Utiliza una tabla de verdad para demostrar la propiedad distributiva $latex (P\wedge Q)\vee R = (P\vee R)\wedge(Q\vee R).$ Problema 3 Utiliza una tabla de verdad para verificar la ecuación $latex \sim(P\wedge Q)\wedge \sim Q = \sim Q.$ Justifica con palabras la validez de la ecuación anterior. Problema 4 Utiliza una tabla de verdad para verificar que la proposición $latex (P\wedge\sim Q) \vee (\s...