Fecha de entrega: 16 de marzo
Problema 1
Decimos que un subconjunto de $latex \{1, 2, \ldots, n\}$ es extraordinario si satisface que su mínimo es igual a su número de elementos, o sea $latex \min S = |S|.$ Por ejemplo, $latex \{3,5,8\}$ es extraordinario. Muestra que el número de subconjuntos extraordinarios de $latex \{1, 2, \ldots, n\}$ es igual al número de Fibonacci $latex F_n$.
Problema 2
Sean $latex 2n$ puntos equidistantes en un círculo, y $latex f_n$ el número de formas en que podemos unir estos puntos en pares, de tal manera que los $latex n$ segmentos no se crucen. Encuentra una fórmula recursiva para $latex f_n$.
Problema 3
Muestra que el número de arreglos de $latex 2\times n$
$latex \begin{pmatrix}x_{11}& x_{12}&\ldots& x_{1n}\\x_{21}& x_{22}&\ldots& x_{2n}\end{pmatrix}$
con los números $latex 1, 2, \ldots, 2n$ de tal forma que cada renglón y cada columna es creciente, es igual a $latex C_n$.
Problema 4
Determina la división en diagonales del polígono convexo que corresponde a las siguientes multiplicaciones.
- $latex a_1\times(((a_2\times a_3)\times(a_4\times a_5))\times a_6)$
- $latex ((a_1\times a_2)\times (a_3\times (a_4\times a_5)))\times((a_6\times a_7)\times a_8)$
Problema 5
- Calcula la tabla de diferencias para la sucesión $latex x_n = 2n^2-n+3$, y encuentra una fórmula para $latex \sum_{k=0}^n x_k$.
- Si la sucesión $latex x_n$ está determinada por un polinomio cúbico, y los primeros términos del renglón 0 de su tabla de diferencias son 1, -1, 3, 10, determina $latex x_n$ y encuentra una fórmula para $latex \sum_{k=0}^n x_k$.
- Encuentra la suma $latex 1^5 + 2^5 + \ldots + n^5$.
Problema 6
Muestra las siguientes identidades de los números de Stirling del segundo tipo.
- $latex S(n,1) = 1, \quad n\ge1$
- $latex S(n,2) = 2^{n-1}-1, \quad n\ge 2$
- $latex S(n,n-1) = \binom{n}{2}, \quad n\ge1$
- $latex S(n,n-2) = \binom{n}{3} + 3\binom{n}{4}, \quad n\ge 2$.
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