Problemas 1

Escuela de Análisis matemático

Análisis de Fourier y operadores de multiplicación

1. Si $latex T:V\to V$ es simétrico y $latex \lambda_i\not=\lambda_j$ son eigenvalores reales distintos de $latex T$, con eigenvectores $latex u_i, u_j$ correspondientes, entonces $latex u_i\perp u_j$.
2. Sea $latex T:\mathscr H\to\mathscr H$ un operador acotado diagonalizado con sucesión multiplicadora $latex \lambda_k$.
   1. T es unitario si, y solo si, $latex |\lambda_k|=1$ para todo k.
   2. T es una proyección ortogonal si, y solo si, todo $latex \lambda_k = 0\text{ o } 1$.
   3. T es un operador compacto si, y solo si, $latex \lambda_k \to 0$.
3. 1. Si $latex \sum a_n$ es una serie convergente, entonces es Cesàro-sumable.
   2. Si $latex \sum a_n$ es Cesàro-sumable, entonces es Abel-sumable.