Problemas 2

Escuela de Análisis matemático

Análisis de Fourier y operadores de multiplicación

1. Si $latex f\in L^p(\mathbb R^d)$ y $latex g\in L^1(\mathbb R^d)$, entonces $latex f*g\in L^p(\mathbb R^d)$ y $latex ||f*g||_{L^p} \le ||f||_{L^p} ||g||_{L^1}.$
2. 1. Si $latex f\in L^1(\mathbb R^d)\cap L^2(\mathbb R^d)$, entonces $latex ||\hat f||_{L^2} = ||f||_{L^2}.$ (Sugerencia: Considera $latex h=f*g$, con $latex g(x) = \overline{f(-x)}$, y nota que $latex h(0) = \int \hat h$.)
   2. El operador $latex f\mapsto \hat f$ es sobreyectivo en $latex L^2(\mathbb R^d)$. (Sugerencia: Si no, existiría $latex g\in L^2$ tal que $latex \int \hat f g = 0$ para toda $latex f\in L^2$. Utiliza el pasito del sombrero.)
3. 1. Sea $latex h(x) = \begin{cases} 0 & x<0\\1 & x\ge 0\end{cases}$ la función de Heaviside. Como distribuciones, $latex h' = \delta,$ la función delta de Dirac.
   2. Sea $latex \mathbf 1$ la función constante igual a 1. Como distribuciones, $latex \hat{\mathbf 1} = \delta$.