Tarea 15, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 1 de junio

Problema 1

Muestra que, en un diseño de bloques, la hipótesis que cada individuo pertenece al mismo número de bloques es superflua; es decir, se sigue del resto de las hipótesis.

Problema 2

1. Encuentra cinco números $latex v, b, k, r, \lambda$ que satisfagan las ecuaciones vistas en clase, pero $latex b<v$.


2. Para cada $latex v>1$, construye un diseño de bloques con $latex b=v$.

Problema 3

Muestra que el plano de Fano es el único sistema de Steiner con $latex v=7$.

Problema 4

Supón que un sistema de Steiner tiene un subconjunto S de $latex (v-1)/2$ individuos tales que forman un sistema de Steiner por sí mismos considerando los bloques que pertenecen a S. Muestra que S es una muestra representativa de clubes.

Problema 5

Muestra que el plano de Fano y $latex \mathbb F_3^2$ pueden ser coloreados con 3 colores, tal que cada bloque usa al menos dos colores (aunque no necesariamente los tres de ellos).

Problema 6

1. ¿Cuántos cuadrados latinos hay de $latex 4\times 4$?


2. ¿Cuál es el número si consideramos como el mismo cuadrado cualquier permutación de renglones, columnas o números?


3. Construye un cuadrado latino de $latex n\times n$ para cada $latex n>1$.

Problema 7

Encuentra dos cuadrados latinos ortogonales de $latex 3\times 3$.