Problemas 4-5

Escuela de Análisis matemático

Análisis de Fourier y operadores de multiplicación

1. Construye una función explícita $latex \eta$ como la que se necesita en la demostración del teorema de Marcinkiewicz: $latex \eta\in C^\infty(\mathbb R^d)$ tal que $latex \eta(\xi)=1$ si $latex |\xi|\le 1$ y $latex \eta(\xi)=0$ si $latex |\xi|\ge 2$. (Sugerencia: considera la función en $latex \mathbb R$ dada por
   $latex \phi(t) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{(1+t)^2}}e^{-\frac{1}{(1-t)^2}} & |t|<1\\ 0 & |t|\ge 1.) \end{cases}$


2. La hipótesis del teorema de Marcinkiewicz puede ser reemplazada por la condición
   $latex \displaystyle \sup_{R>0} R^{-d + 2|\alpha|} \int_{R\le|\xi|\le 2R} |\partial_\xi^\alpha m(\xi)|^2 d\xi \le A_\alpha$
   para todo $latex 0\le|\alpha|\le l$, donde l es el menor entero mayor que $latex d/2$.


3. El multiplicador de Böchner-Riesz $latex m(\xi) = (1 - |\xi|^2)^\delta \chi_{\mathbb B}(\xi)$ satisface las hipótesis del teorema de Marcinkiewicz cuando $latex \delta > (d-1)/2$.


4. Si $latex K$ satisface $latex |\nabla K(x)|\le \dfrac{A}{|x|^{d+1}}$, entonces es un kernel de Calderón-Zygmund.


5. La transformada de Hilbert $latex \displaystyle Hf(x) = \lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{\pi} \int_{|t|>\varepsilon} \frac{f(x-t)}{t}dt$ es un operador de multiplicación con multiplicador $latex m(\xi) = i\text{sgn}(\xi)$. Muestra que la distribución $latex K(x) = \dfrac{1}{\pi x}$ es un kernel de Calderón-Zygmund.