Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Examinando el discriminante, determina la existencia y cantidad de raíces reales a los siguientes polinomios. $Latex 2x^2-8x+8$ $Latex x^2-3x+2$ $Latex x^2-4x+5$ $Latex 9x^2+6x+1$ $Latex x^2+6x+13$ $Latex x^2-9$ Problema 2 Encuentra el punto máximo o mínimo de cada uno de los polinomios anteriores. Problema 3 Utilizando los resultados obtenidos en los problemas anteriores haz un bosquejo de cada uno de polinomios del problema 1. Indica el valor donde se alcanza el máximo o mínimo e indica también las raíces de cada polinomio.

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Encuentra las soluciones racionales a los siguientes polinomios.  $Latex 5x^3-3x^2-7x-2$ $Latex 14x^4-37x^3+19x^2-37x+5$ $Latex 15x^4-3x^3-8x^2+6x-4$ Problema 2 Demuestra que $Latex 3x^n = 91$ no tiene raíces racionales para ningún $Latex n>1$. Problema 3 Demuestra utilizando el criterio de Eisenstein que los siguientes polinomios son irreducibles. $Latex x^3-3x-1$ $Latex x^3+x^2-2x-1$ $Latex x^4-42x^2+21x+56$

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} = 0$ mostrando que, dado $latex \e>0$, existe $latex \delta>0$ tal que si $latex |(x,y)-(1,0)| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}<\delta$ entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big| < \e$. Sigue los siguientes pasos. Muestra que $latex |(x,y)-(1,0)|<\delta$ implica que $latex -\delta<y<\delta$ y $latex 1-\delta<x<1+\delta$. De las desigualdades anteriores, concluye que, si $latex 0<\delta<1$, entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big|<\dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}.$ Utiliza el punto anterior para encontrar $latex \delta$ en función de $latex \e$. Problema 2 Extiende la función $latex f(x,y) = \dfrac{\sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, \; (x,y)\not=(0,0)$, al punto $latex (0,0)$ de tal manera que sea continua en ese punto. Problema 3 Averigua si las siguientes funciones son continuas en $latex (0,0)$. $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2-y...

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Considera los polinomios $latex f = x^3-x+1, \quad g = x^4-x^3+2x^2+2x-3, \quad h = 2x^4-x^2+1.$ Calcula los siguientes polinomios. $latex f + g$ $latex x^2f - xg$ $latex fg$ $latex g + 2h$ $latex h - 2g$ $latex fh$ $latex f(2g-h)$ $latex gh$ $latex 4g + 3h$ $latex 2x^3g - fh$ Problema 2 Sean $latex f, g, h$ los polinomios del problema anterior. Calcula polinomios $latex q_1, r_1$ tales que $latex g = q_1f+r_1$ y el grado de $latex r_1$ es menor que el grado de $latex f$. Calcula polinomios $latex q_2, r_2$ tales que $latex h = q_2f+r_2$ y el grado de $latex r_2$ es menor que el grado de $latex f$. Problema 3 Calcula el máximo común divisor de las siguientes parejas de polinomios. $latex x^3 + 2x^2 - 4x - 3,\; 2x^4+5x^3-3x^2-3x-9$ $latex x^4-x^3+x^2-2x-2, \; x^5-2x^4+2x^3-7x^2-6$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $latex \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $latex \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $latex A+B$ $latex 2A-B$ $latex AC$ $latex AD$ $latex BC$ $latex BD$ $latex C^2$ $latex CD$ $latex DA$ $latex DB$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex \begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua cuáles de las siguientes transformaciones del plano son lineales. En tal caso, calcula su matriz y su determinante. Cizalla: $latex (x,y) \mapsto (x+cy, y)$, para alguna constante $latex c$ Traslación: $latex (x,y)\mapsto (x+a,y+b)$, para $latex a,b$ constantes Explosión: $latex (x,y) \mapsto (ax,by)$, para $latex a,b$ constantes Rotación: si $latex x=r\cos\theta$ y $latex y=r\sen\theta$, entonces $latex (x,y)\mapsto (r\cos(\theta+\varphi),r\sen(\theta+\varphi))$, para alguna constante $latex \varphi$ Proyección: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x \mapsto \vec x_r = \dfrac{\vec x\cdot\vec r}{r^2}\vec r$ Reflexión: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x\mapsto \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$ Problema 2 Calcula el determinante de las siguientes matrices. $latex \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&1...

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Para las siguientes ecuaciones, haz un bosquejo de la recta y encuentra su pendiente. $latex 2x -3y + 1 = 0$ $latex 2x=2$ $latex 2x + 4y = 1$ Problema 2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex 2x+y=1\quad 3x-y=1$ $latex -x-2y=2\quad 3x+6y=6$ $latex 2x-6y=0\quad 3x-2y=1$ $latex -5x+2y=-2\quad 8x-y=1$ $latex 2x+y=4\quad-4x-2y=-8$

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 - z - 1 + i = 0$ $latex z^2 - iz - 1 - i = 0$ $latex z^2 + (1+i)z + 10 + 11i = 0$ Problema 2 Factoriza $latex x^4+1$ en polinomios con coeficientes reales.

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Calcula explícitamente, en coordenadas cartesianas, las raíces sextas de la unidad. Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 = -2+2i$ $latex z^3 = -i$ $latex z^4 = -1$ $latex z^3 = -8+8i$ $latex z^2 = -4i$

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Escribe los siguientes números complejos en forma polar. $latex z = 2-2i$ $latex z = -3\sqrt 3 + 3i$ $latex z = -4-4i$ $latex z = 4 + 4\sqrt 3 i$ $latex z = -2-2i$ Problema 2 Escribe los siguientes números complejos en forma cartesiana. $latex z = 4e^{i\pi/2}$ $latex z = 2e^{2i\pi/3}$ $latex z = e^{7i\pi/4}$ $latex z = 6e^{-5i\pi/3}$ $latex z = 3e^{-9i\pi/4}$

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Calcula la integral $latex \displaystyle \int_T (y-1)dydz + (y+z)dzdx - xdxdy$, donde $latex T=[(1,0,-2), (-1,2,0),(1,1,2)]$. Problema 2 Encuentra el área, la masa y el centro de masa de la región elíptica $latex x^2+4y^2\le 4$ con densidad $latex \rho(x,y) = x^2+y^2$. Problema 3 Encuentra la masa del sólido descrito por $latex x\ge 0, \quad y\ge 0, \quad z\ge 0, \quad z^2\le 4x, \quad x^2+y^2\le 16,$ cuya densidad está dada por $latex \rho(x,y,z) = xyz^3$. Problema 4 Encuentra el centro de masa del sólido de densidad constante igual a 1 descrito por $latex x\ge 0, \quad y \ge 0, \quad x+y\le 2, \quad 0\le z\le 1+x+2y.$

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Dibuja en el plano complejo los números $latex z, w, z+w, z-w $ y $latex zw $ para los siguientes números complejos. $latex z=2+3i, w=1-i $ $latex z=1+i, w=1-i $ $latex z=2+2i, w=1-2i $ $latex z=-3-2i, w=-3+4i $ $latex z=5i, w=1-2i $ Problema 2 Calcula $latex |z|, |w|, |z+w|$ y $latex |zw|$ para los números del problema anterior. En cada caso, verifica que $latex |z+w| \le |z| + |w|$ y que $latex |zw| = |z| |w|$. Problema 3 Sean $latex z, w\in\C $. Demuestra que $latex |z+w|^2 + |z-w|^2 = 2|z|^2 + 2|w|^2$.

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Calcula las siguientes operaciones con números complejos. $latex (2-i) + (3-2i)$ $latex (2-i)(3-2i)$ $latex (5-4i)(5+4i)$ $latex (2-3i)(2-i)$ $latex (1+i)^2$ $latex \dfrac{(1+i)(2+i)}{1+2i}$ $latex \dfrac{3+i}{3-2i}$ $latex 2+i +\dfrac{2-i}{(3-i)(2+i)}$ $latex 4i(1-3i) - 2\dfrac{1+i}{1-i}$ $latex \dfrac{3-i}{2-i} + \dfrac{3+i}{2+i}$

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Indica si los siguientes conjuntos son acotados por arriba o por abajo y, en tal caso, indica su supremo y/o ínfimo. $latex \Big\{\dfrac{1}{n}: n\in\N\Big\}$ $latex \Big\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\N\Big\}$ $latex \{x\in\Z: x^2 < 5 \}$ $latex \{x\in\Q: x^2-x<2\}$ $latex \{x\in\R: |x^2-5| \ge 1\}$ Problema 2 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ una función continua. Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,1]$ tal que $latex f(x)=x$.

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Integra la forma $latex xy^2dx+ ydy$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,0)$ a $latex (1,1)$. Los segmentos de $latex (0,0)$ a $latex (0,1)$ a $latex (1,1)$ La curva $latex y = x^2$ La curva $latex x = y^2$ Problema 2 Integra la forma $latex yzdx + zxdy + xydz$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,1,0)$ a $latex (2,1,1)$. El segmento Los segmentos de $latex (0,1,0)$ a $latex (0,1,1)$ a $latex (2,1,1)$ El arco $latex (2t, (2t-1)^2,t),\quad 0\le t\le 1$ Problema 3 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_\gamma (x^2-2xy+y^2)ds,$ donde $latex \gamma = \{(2\cos t, 2\sen t): 0\le t\le \pi\}$. Problema 4 Evalúa las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_R (x^2+y^2)dxdy, \quad R=\{(x,y)|1\le x\le 2, -1\le y\le 1\}$ $latex \displaystyle \int_R x\sen y dxdy, \quad R=\{(x,y)|0\le x\le 1, x^2\le y\le 2x^2\}$ $latex \displaystyle \int_R xydxdy, \quad R$ el triángulo con vértic...

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Muestra que $latex \sqrt 3$ es irracional. Problema 2 Muestra que, si $latex d\in\Z_+$ y $latex \sqrt d$ es racional, entonces cada factor primo de $latex d$ aparece un número par de veces en su factorización prima y, por lo tanto, $latex d$ es un cuadrado. Problema 3 Encuentra dos números irracionales tales que su suma es un número racional. Encuentra dos números irracionales tales que su multiplicación es un número racional.

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Muestra que, si $latex n$ no es primo, entonces $latex (\Z_n, +,\times)$ no es un campo. Problema 2 Muestra que, si $latex p$ es primo, entonces $latex \displaystyle p\Big|\binom{p}{k}$ para $latex 0<k<p$. ( Sugerencia: Utiliza la fórmula $latex \displaystyle \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$.) Problema 3 Utiliza el problema anterior para mostrar que, en el campo $latex \mathbb F_p,$ $latex (a+b)^p = a^p + b^p$.

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: $latex \dfrac{2}{4}, \;\dfrac{-2}{-7}, \;\dfrac{5}{-2}, \;\dfrac{13}{-11}, \;\dfrac{1}{4}, \;\dfrac{44}{-60}, \;\dfrac{4}{5}, \;\dfrac{5}{4}, \;\dfrac{-23}{11}, \;\dfrac{5}{-5}$. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}$ y $latex q\not=-n$, entonces $latex \dfrac{p+m}{q+n} = \dfrac{p}{q}$. Problema 3 Indica si las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia. En $latex \Z$, $latex m\sim n$ si $latex m+n$ es múltiplo de $latex 10$. Entre los países del planeta, $latex X\sim Y$ si su nombre tiene el mismo número de letras. Entre los países del planeta, $latex X\sim Y$ si en $latex X$ y en $latex Y$ se habla el mismo idioma.

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Calcula $latex \phi(n)$ para $latex n = 7, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 30, 60, 105$. Problema 2 Calcula la clase de congruencia de $latex 2^{340} \pmod{341}$. ¿Qué te dice sobre la inversa del teorema de Fermat?

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Evalúa la forma diferencial $latex 4dx - 2dy + 3dz$ en cada uno de los segmentos definidos por las siguientes parejas de vectores. $latex (-1, 2, 5), (-3, 3, 2)$ $latex (2,0,1), (-1,0,2)$ $latex (0,5,3), (-3,3,2)$ Problema 2 Evalúa la forma $latex ydx + zdy + xdz$ en cada uno de los segmentos del problema anterior. Problema 3 Muestra que el campo gravitacional generado por un cuerpo de masa $latex M$ en el origen está dado por $latex -GM \Big( \dfrac{x}{r^3}dx + \dfrac{y}{r^3}dy + \dfrac{z}{r^3}dz\Big)$, donde $latex r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. (Nota que no está definido en el origen.) Además, muestra que el trabajo realizado por este campo al mover una partícula de $latex \vec a$ a $latex \vec b$ depende solo en $latex |\vec a|$ y $latex |\vec b|$. Problema 4 Calcula el flujo del fluido con velocidad $latex \vec v=(x+y,xy)$ en el plano a través de los segmentos definidos por los siguientes pares de vectores. $latex (2,2), (3,5)$ $latex...