Tarea 1, Álgebra 3

Fecha de entrega: 11 de febrero

Problema 1. Sea $latex P(n)$ el número de arreglos de $latex n$ ceros y unos tales que los unos solo ocurren en grupos de tres o más. (El arreglo de $latex n$ ceros es válido.)

1. Muestra que $latex P(n) = 2P(n-1) - P(n-2) + P(n-4)$.


2. Muestra que $latex \dfrac{P(n+1)}{P(n)} \to x$, donde $latex x>0$ y satisface $latex x^4 - 2x^3 + x^2 - 1 = 0.$


3. Factoriza la ecuación cuártica en dos cuadráticas, y encuentra $latex x$.

Problema 2. Muestra que $latex \sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2 - 11i} = 4$, escogiendo las raíces cúbicas apropiadas.

Problema 3. Sea $latex p(x)\in\C[x]$ con coeficientes reales.

1. Muestra que, si $latex r$ es una raíz de $latex p(x)$, entonces $latex \bar r$, el conjugado complejo de $latex r$, es raíz de $latex p(x)$.


2. Muestra que existen $latex k, r_1, \ldots, r_k, s_{k+1}, t_{k+1}, \ldots, s_n, t_n\in\R$ tales que $latex p(x) = k(x - r_1) \cdots (x - r_k)(x^2 + s_{k+1}x + t_{k+1}) \cdots (x^2 + s_n x + t_n).$

Problema 4. Sean $latex z_1, \ldots, z_n$ números complejos distintos. Muestra que el determinante

$latex \displaystyle \det\begin{pmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\z_1 & z_2 & \cdots & z_n\\z_1^2 & z_2^2 & \cdots & z_n^2\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\z_1^{n-1} & z_2^{n-1} & \cdots & z_n^{n-1}\end{pmatrix}$

es diferente de cero. Este es llamado del determinante de Vandermonde, aunque no se sabe realmente por qué.

Problema 5. Utiliza el determinante de Vandermonde para mostrar que, si $latex p(x)\in\C$ satisface que $latex p(r)=0$ para todo $latex r\in\C$, entonces $latex p(x)$ es el polinomio cero.