Problemas: Sucesiones de polinomios ortogonales

Problema 1: Los polinomios de Tchebichev de segundo tipo están definidos por

$latex \displaystyle U_n(x) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}, \quad x=\cos\theta, \quad n\geqslant 0.$

Mostrar que $latex U_n(x)$ es un polinomio de grado $latex n$, y que

$latex \displaystyle \int_{-1}^{1} U_n(x)U_m(x)(1-x^2)^{1/2}dx = \frac{\pi}{2}\delta_{n,m}.$

Problema 2: Sea $latex \mathcal{L}[x^n]=a^n, (n\geqslant0, a\in\mathbb C)$. Probar que no existe una SPO para $latex \mathcal{L}$.

Problema 3: Sea $latex P_n(x)=x^n, (n\geqslant0)$. Mostrar que $latex \{P_n\}_{n\ge 0}$ no es una SPO.

Problema 4: Sea $latex \mathcal{L}$ un funcional lineal asociado a $latex \{\mu_n\}_{n\ge 0}$, y sea $latex \tilde{\mathcal{L}}$ definido por  $latex \tilde{\mathcal{L}}[x^n]=\mathcal{L}[(ax+b)^n],$ con $latex a\neq0$, $latex n\geqslant0$. Si $latex \{P_n\}_{n\ge 0}$ es la SPO con respecto a $latex \mathcal{L}$, encontrar la SPO con respecto a $latex \tilde{\mathcal{L}}$.