Tarea 3, Varias variables

Fecha de entrega: 18 de febrero

Problema 1. Sea $latex (x_k)$ una sucesión en $latex \R^n$ tal que $latex x_k\to L$ y $latex x_k\to M$. Muestra que $latex L = M$.

Problema 2. Muestra que la sucesión $latex (x_k)$ es de Cauchy en $latex \R^n$ si y solo si cada sucesión $latex (x_k^i)$ es de Cauchy en $latex \R$.

Problema 3. Muestra que toda sucesión de Cauchy en $latex \R^n$ converge, a través de los siguientes pasos.

1. Si $latex (x_k)$ es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada.


2. Sea $latex (x_k)$ una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge, digamos $latex x_{k_l} \to L$. Muestra que $latex x_k\to L$.


3. Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para concluir que toda sucesión de Cauchy en $latex \R^n$ converge.

Problema 4. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en $latex \R^n$ tiene un punto de acumulación.

Problema 5. Considera, en $latex \R^n$, la cubierta $latex \{A_n\}_n$,

$latex A_n = \{ x\in\R^n: \dfrac{1}{2n} < |x| < \dfrac{3}{2n}\},$

para la bola punteada $latex B_1^*(0) = \{ x: 0 < |x| \le 1 \}$. Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas.