Tarea 4, Varias variables

Fecha de entrega: 25 de febrero

Problema 1. Demuestra que la función $latex f:A\to\R^m$ es continua en $latex x\in A$ si y solo si cada una de sus componentes $latex f^i:A\to\R$ es continua en $latex x$.

Problema 2. Considera la función en $latex \R^2$ definida por

$latex \displaystyle f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0).\end{cases}$

Muestra que, aunque cada una de las funciones $latex x\to f(x,y_0)$ y $latex y\to f(x_0,y)$ son continuas en $latex \R$ para cualquier $latex x_0,y_0\in\R$, la función $latex f$ no es continua en $latex (0,0)$.

Problema 3. Sea $latex f:A\to\R^m$ continua en $latex x_0\in A$ tal que $latex f(x_0)\not=0$. Entonces existe $latex \alpha>0$ y un conjunto abierto $latex U\subset\R^n$ tal que $latex 0\in U$ y $latex |f(x)| > \alpha$ para todo $latex x\in U\cap A$.

Problema 4. Sea $latex f:A\to\R^m$ continua. Muestra que la función $latex |f|:A\to\R^m$ dada por $latex |f|(x) = |f(x)|$ es continua.

Problema 5. Muestra que si $latex E\subset\R^n$ es compacto y $latex f:E\to\R^m$ es continua, entonces existen $latex x',x''\in E$ tales que

$latex |f(x')| = \max\{|f(x)|:x\in E\}\qqy |f(x'')| = \min\{|f(x)|:x\in E\}.$