Problemas: Funcionales en espacios normados

Aquí va la primer lista de problemas del Seminario de análisis. Discutiremos algunos de ellos en clase.

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Problema 1: Sea $latex X$ un espacio de Banach y $latex T\in\mathcal L(X,X)$.

1. Si $latex ||I - T|| < 1$, donde $latex I$ es el operador identidad, entonces $latex T$ es invertible y, además, la serie $latex \sum_0^\infty (I - T)^n$ converge a $latex T^{-1}$ en $latex \mathcal L(X,X).$


2. Si $latex T$ es invertible y $latex S\in\mathcal L(X,X)$ satisface $latex ||S - T|| < ||T^{-1}||^{-1},$ entonces $latex S$ es invertible.

Notamos que (2) implica que el conjunto de operadores invertibles es abierto en $latex \mathcal L(X,X)$.

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Si $latex Y$ es un subespacio de $latex X$, el espacio cociente $latex X/Y$ se define como el espacio de las clases de equivalencia de la relación $latex x\sim y$ si, y solo si, $latex x - y\in Y,$ denotadas por $latex x + Y$, con operaciones

$latex (x + Y) + (y + Y) = (x + y) + Y$,

$latex \lambda (x + Y) = (\lambda x) + Y$.

Problema 2: Sea $latex X$ un espacio normado y $latex Y$ un subespacio propio cerrado en $latex X$. Entonces

1. $latex ||x + Y|| = \inf\{ ||x + y||: y\in Y\}$ es una norma en $latex X/Y$.


2. Para cada $latex \e > 0$ existe $latex x\in X$ tal que $latex ||x|| = 1$ y $latex ||x + Y|| \geq 1 - \e$.


3. La proyección $latex \pi:X \to X/Y$, $latex \pi(x) = x + Y$, tiene norma 1.


4. Si $latex X$ es completo, entonces $latex X/Y$ también lo es.

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Problema 3: Sea $latex X$ un espacio normado.

1. Si $latex Y$ es un subespacio cerrado y $latex x\in X\setminus Y$, entonces $latex Y + \mathbb C x$ es cerrado. (Sugerencia: Utiliza el corolario al teorema de Hahn-Banach visto en clase.)


2. Todo subespacio de $latex X$ de dimensión finita es cerrado.

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Problema 4: Sea $latex X$ un espacio normado de dimensión infinita.

1. Existe una sucesión $latex x_n$ en $latex X$ tal que $latex ||x_n|| = 1$ para todo $latex n$, y $latex ||x_n - x_m|| \ge \dfrac{1}{2}$ para todo $latex n\not= m.$ (Sugerencia: Utiliza el problema 2.)


2. $latex X$ no es localmente compacto; es decir, la bola cerrada en $latex X$ no es compacta.

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Un espacio métrico es separable si tiene un conjunto denso contable.

Problema 5: Si $latex X$ es un espacio de Banach y $latex X^*$ es separable, entonces $latex X$ es separable. (Sugerencia: Si $latex \{f_n\}$ es un conjunto contable denso en $latex X^*$, escoge $latex x_n\in X$ tales que $latex ||x_n|| = 1$ y $latex |f_n(x_n)| \ge \dfrac{1}{2}.$ Muestra que el espacio generado por $latex \{x_n\}$ es denso en $latex X$.)

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Problema 6: Sea $latex P$ un subconjunto del espacio vectorial $latex X$ tal que: i) si $latex x,y\in P$ entonces $latex x + y \in P;$ ii) si $latex x\in P$ y $latex \lambda\ge 0$ entonces $latex \lambda x\in P;$ y iii) si $latex x\in P$ y $latex -x\in P$ entonces $latex x=0$.

1. La relación $latex \le$ definida en $latex X$, definida por $latex x\le y$ si y solo si $latex y - x\in P$, es un orden parcial en $latex X$.


2. (Teorema de extensión de Krein) Sea $latex Y$ un subespacio de $latex X$ tal que, para cada $latex x\in X$, existe $latex y\in Y$ tal que $latex x\le y$. Si $latex f$ es un funcional en $latex Y$ tal que $latex f(x)\ge 0$ para todo $latex x\in Y\cap P$, entonces existe un funcional $latex F$ en $latex X$ tal que $latex F(x) \ge 0$ para todo $latex x\in P$ y $latex F|_Y = f$. (Sugerencia: Utiliza el teorema de Hahn-Banach con $latex p(x) = \inf\{f(y) : y\in Y, x\le y\}.$)