Tarea 5, Varias variables

Fecha de entrega: 4 de marzo

Problema 1. Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f:U\to\R$ diferenciable en $latex x_0\in U$. Entonces $latex f$ es continua en $latex x_0$.

Problema 2. Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f,g:U\to\R$ tales que $latex f$ es continua en $latex x_0\in U$, $latex g$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex g(x_0) = 0$. Muestra que $latex fg$ es diferenciable en $latex x_0$.

Problema 3. Calcula la derivada y el Jacobiano de cada una de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena primero, y utilizando derivadas parciales después.

1. $latex (x,y) \mapsto (x^2 - y^2, 2xy)$, en cada punto $latex (x_0, y_0)\in\R^2$.


2. $latex (x,y) \mapsto (\sen(x^2 + xy + y^2), e^{xy} )$, en cada punto $latex (x_0,y_0)\in\R^2$.

Problema 4. Decimos que $latex f:\R^n\to\R$ es homogénea de grado $latex \alpha$ si $latex f(tx) = t^\alpha f(x)$, para $latex x\in\R^n$, $latex t>0$. Si además $latex f$ es diferenciable, muestra la fórmula de Euler

$latex \displaystyle \sum_{i=1}^n x^i D_if(x) = \alpha f(x).$

Problema 5. Si $latex f:U\to \R$ tiene un mínimo o máximo local en $latex x_0$ y sus derivadas parciales existen, entonces $latex D_if(x_0) = 0$, $latex i = 1, \ldots, n$.