Tarea 2, Varias variables

Fecha de entrega: 11 de febrero

Problema 1. Muestra que un semiespacio es un conjunto abierto.

Problema 2. Muestra que $latex U\in\R^n$ es abierto si, y solo si, para todo $latex x\in U$ existe $latex \e > 0$ tal que $latex B_\e(x)\subset U$.

En otras palabras, podemos definir a los conjuntos abiertos en términos de bolas cerradas.

Problema 3. Muestra las siguientes propiedades de conjuntos abiertos.

1. Si $latex \{U_\alpha\}$ es una colección de conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la unión $latex \bigcup_\alpha U_\alpha$ es un conjunto abierto.


2. Si $latex U_1, U_2, \ldots, U_k$ son conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la intersección $latex \bigcap_{i=1}^k U_i$ es un conjunto abierto.

Problema 4. Muestra que $latex x$ es punto de acumulación de $latex A$ si, y solo si, para todo rectángulo abierto $latex R$ que contiene a $latex x$, $latex R\cap A\setminus\{x\} \not=\emptyset$.

Problema 5. Muestra que, si $latex x\in(\text{fr } A)\setminus A$, entonces $latex x$ es un punto de acumulación de $latex A$.