Tarea 3, Álgebra 3

Fecha de entrega: 25 de febrero

Problema 1. Encuentra y describe los subcampos de $latex \C$ generados por los siguientes conjuntos:

1. $latex \{ 0,1 \}$;


2. $latex \{ 0 \}$;


3. $latex \{\sqrt 2, \sqrt 3 \}$; y


4. $latex \{ \sqrt[3]\pi \}$.

Problema 2. Muestra que $latex 1, \sqrt 2, \sqrt 3$ y $latex \sqrt 6$ son linealmente independientes sobre $latex \Q$.

Problema 3. Averigua si la extensión $latex \Q(\sqrt 5, \sqrt 7)$ es simple o no.

Problema 4. Encuentra el polinomio mínimo sobre el campo dado de los siguientes números.

1. $latex \dfrac{\sqrt 5 + 1}{2}$ sobre $latex \Q$;


2. $latex \dfrac{i \sqrt 3 - 1}{2}$ sobre $latex \Q$;


3. $latex \dfrac{i - \sqrt 3}{2}$ sobre $latex \Q$; y


4. $latex \sqrt 3 + \sqrt 6$ sobre $latex \Q(\sqrt 2)$.

Problema 5. Muestra que si $latex \alpha$ tiene polinomio mínimo $latex t^2 - 2$ sobre $latex \Q$ y $latex \beta$ tiene polinomio mínimo $latex t^2 - 4t + 2$ sobre $latex \Q$, entonces las extensiones $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex \Q(\beta):\Q$ son isomorfas.