Tarea 1, Varias variables

Fecha de entrega: 4 de febrero 2011

Problema 1. Muestra la desigualdad del triángulo inversa: Si $latex x,y\in\R^n$,

$latex \big| |x| - |y|\big| \le |x-y|.$

Problema 2. Demuestra la identidad del palalelogramo: Si $latex x,y\in\R^n$,

$latex |x|^2 + |y|^2 = \frac{1}{2}\big(|x+y|^2 + |x-y|^2 \big).$

Explica qué tiene que ver esta identidad con un paralelogramo.

Problema 3. Muestra el teorema de Pitágoras: Si $latex x,y\in\R^n$ y $latex x\perp y$,

$latex |x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2.$

Problema 4. Sea $latex V$ un subespacio de $latex \R^n$ y $latex x\in\R^n$. Si $latex y_1, y_2\in V$ son tales que

$latex x - y_1 \perp z\qquad\text{ y } \qquad x - y_2 \perp z\quad$

para todo $latex z\in V$, muestra que $latex y_1 = y_2$. (Sugerencia: Calcula $latex |y_1 - y_2|$.)

Problema 5. Muestra que, si $latex x_1,x_2\in\R^n$, el conjunto

$latex \{x\in\R^n: |x - x_1| = |x - x_2| \}$

es un hiperplano.