Tarea 2, Álgebra 3

Fecha de entrega: 18 de febrero

Problema 1. Encuentra un máximo factor común de cada uno de los siguientes pares de polinomios $latex f$ y $latex g$ sobre $latex \Q$.

1. $latex f = x^7 - x^3 + 5, g = x^3 + 7$;


2. $latex f = 4x^3 - 17x^2 + x -3, g = 2x + 5$;


3. $latex f = x^4 - 1, g = x^2 + 1$; y


4. $latex f = x^4 - 1, g = 3x^2 + 3x$;

Problema 2. Expresa cada uno de los mcf encontrados en el problema anterior en la forma $latex uf + vg$.

Problema 3. Decide la reducibilidad o irreducibilidad de los siguientes polinomios sobre el campo dado.

1. $latex x^4 + 1$ sobre $latex \R$;


2. $latex x^4 + 1$ sobre $latex \Q$;


3. $latex x^3 + x^2 + x + 1$ sobre $latex \Q$;


4. $latex x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ sobre $latex \Q$;

Problema 4. Encuentra los ceros de los siguientes polinomios sobre $latex \Q$, sobre $latex \R$, y sobre $latex \C$.

1. $latex x^3 + 1$;


2. $latex x^3 - 6x^2 + 11x - 6$;


3. $latex x^2 + 2$;


4. $latex x^4 - 6x^2 + 11$;

Problema 5. Decimos que un polinomio $latex f$ sobre $latex K\subset\C$ es primo si, siempre que $latex f|gh$, entonces $latex f|g$ o $latex f|h$. Muestra que $latex f$ es primo si, y solo si, es irreducible.