Fecha de entrega: 11 de febrero
Problema 1. Sea $latex P(n)$ el número de arreglos de $latex n$ ceros y unos tales que los unos solo ocurren en grupos de tres o más. (El arreglo de $latex n$ ceros es válido.)
- Muestra que $latex P(n) = 2P(n-1) - P(n-2) + P(n-4)$.
- Muestra que $latex \dfrac{P(n+1)}{P(n)} \to x$, donde $latex x>0$ y satisface $latex x^4 - 2x^3 + x^2 - 1 = 0.$
- Factoriza la ecuación cuártica en dos cuadráticas, y encuentra $latex x$.
Problema 2. Muestra que $latex \sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2 - 11i} = 4$, escogiendo las raíces cúbicas apropiadas.
Problema 3. Sea $latex p(x)\in\C[x]$ con coeficientes reales.
- Muestra que, si $latex r$ es una raíz de $latex p(x)$, entonces $latex \bar r$, el conjugado complejo de $latex r$, es raíz de $latex p(x)$.
- Muestra que existen $latex k, r_1, \ldots, r_k, s_{k+1}, t_{k+1}, \ldots, s_n, t_n\in\R$ tales que $latex p(x) = k(x - r_1) \cdots (x - r_k)(x^2 + s_{k+1}x + t_{k+1}) \cdots (x^2 + s_n x + t_n).$
Problema 4. Sean $latex z_1, \ldots, z_n$ números complejos distintos. Muestra que el determinante
$latex \displaystyle \det\begin{pmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\z_1 & z_2 & \cdots & z_n\\z_1^2 & z_2^2 & \cdots & z_n^2\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\z_1^{n-1} & z_2^{n-1} & \cdots & z_n^{n-1}\end{pmatrix}$
es diferente de cero. Este es llamado del determinante de Vandermonde, aunque no se sabe realmente por qué.
Problema 5. Utiliza el determinante de Vandermonde para mostrar que, si $latex p(x)\in\C$ satisface que $latex p(r)=0$ para todo $latex r\in\C$, entonces $latex p(x)$ es el polinomio cero.
Para el problema 1; P(n) el arreglo de los n ceros, n define las tuplas de una coordenada? ( , , ,\cdots, , )
ResponderBorrarSí: $latex P(n)$ es el número de $latex n$-tuplas con ceros y unos, con la condición de que, si aparecen unos, tienen que aparecer juntos siempre al menos tres de ellos.
ResponderBorrar0000, 111011110 o 01110111 son válidos, pero 110111 no lo es, por ejemplo.