Ricardo A. Sáenz

La siguiente es la lista de los proyectos finales del curso Introducción al análisis . El proyecto final constituye el 50% de la calificación ordinaria. Julio César Alcaraz Siqueiros: Fórmula de Wallis Sandra Paola Hernández Pimentel: Funciones aditivas La fecha de entrega del proyecto es el 13 de diciembre, antes de la 1:00pm (hora del examen escrito). Estaré en mi oficina durante esta semana, disponible para preguntas sobre los proyectos.

Problema 1. Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si $latex f$ es diferenciable en todo su dominio, entonces $latex f'$ es continua. Falso. La función $latex f(x) = x^2 \sin\dfrac{1}{x},$ $latex x\not=0,$ $latex f(0)=0,$ es diferenciable pero $latex f'$ no es continua en cero. Si $latex f\cdot g$ es diferenciable, entonces $latex f$ y $latex g$ son diferenciables. Falso. Si $latex f=0$ y $latex g(x) = |x|,$ entonces $latex f\cdot g = 0$ es diferenciable, pero $latex g$ no lo es. Si $latex f\circ g$ es diferenciable, entonces $latex f$ y $latex g$ son diferenciables. Falso. Mismo ejemplo que en el anterior. Si las funciones $latex f$ y $latex g:[a,b]\to\R$ son Riemann-integrables, entonces $latex fg$ es Riemann-integrable. Verdadero. Visto en clase. Si las funciones $latex f$ y $latex g:[a,b]\to\R$ son Riemann-integrables y $latex g(x)\not=0$ para todo $latex x\in[a,b]$, entonces $latex f/g$ es Riemann-integrable. Falso. Si $latex f=1$ en ...

Tarea 15

Notas de la plática de Eduardo Dueñez: Invitación a la geometría diofantina Lista de problemas relacionados: Problemas diofantinos elementales

Seminario CUICBAS: Funciones Zeta y L: ¿Qué son y para qué sirven? , por Eduardo Dueñez, University of Texas. Viernes, 26 de noviembre, 4:00pm. Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: Esta plática pretende explicar los orígenes de la teoría de las funciones-L, partiendo de los ejemplos básicos de la función zeta de Riemann y las funciones-L de Dirichlet, pasando por la teoría de formas modulares y funciones-L de Hecke y finalmente llegando hasta las funciones-L asociadas a representaciones automorfas en el contexto del Programa de Langlands. Enfatizaremos los aspectos analíticos de la teoría, incluyendo la hipótesis de Riemann general, así como las hipótesis de Ramanujan y Selberg. Como conclusión, describiremos varias conjeturas relativas a la distribución vertical de los ceros críticos de funciones-L que se basan en analogías con la teoría de matrices aleatorias siguiendo las filosofías de Montgomery-Odlyzko y Katz-Sarnak.

Conferencia de la semana : Introducción a la geometría diofantina , por Eduardo Dueñez, Universidad de Texas en San Antonio. Jueves, 25 de noviembre, 12:00pm. Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: Esta plática servirá como introducción a algunos de los aspectos más elementales de la geometría diofantina, es decir, el empleo de métodos geométricos para encontrar soluciones enteras de una ecuación dada. (1) Ecuaciones lineales. (2) Ecuaciones cuadráticas ternarias y el método de la secante (aplicación: construcción de ternas pitagóricas). (3) Ecuaciones cuadráticas binarias indefinidas "de Pell" (basado en fracciones continuas y el concepto de rotación hiperbólica). Según lo permita el tiempo discutiremos asimismo el caso de las ecuaciones cuadráticas binarias definidas y quizás un poco de la teoría de Gauss.

Tarea 14

Los invito a la conferencia pública Origen y evolución del universo que impartirá César Terrero en la Casa del Archivo Histórico del Municipio de Colima , este viernes 26 de noviembre a las 8:30pm. La Cosmología tiene como objetivo el estudio del origen y la evolución de nuestro universo como un todo. Tal objetivo puede sonar descabellado y ha sido causa de ataques a esta ciencia y a los cosmólogos. En esta plática se explicará por qué la Cosmología ha sido reconocida recientemente como una ciencia rigurosa por una parte amplia de la comunidad científica. Esto se debe, principalmente, a la existencia de un modelo teórico que parece capaz de explicar todos los datos de las observaciones relevantes y hace predicciones verificables. Todavía existe la posibilidad real de disminuir el error de las observaciones cosmológicas y de refinar el análisis de los datos. Esto permitiría describir, por ejemplo, qué sucedió en nuestro universo cuando apenas era una esfera de un centímetro de radio.

La Facultad de Ciencias está organizando un viaje a la ciudad de Guadalajara para asistir a la Feria Internacional del Libro , el viernes 3 de diciembre. El costo es $0.00 para estudiantes de la facultad. Para más información, contactar a Gladys Espinoza.

Tarea 13

Seminario CUICBAS: Perturbaciones de polinomios ortogonales clásicos , por Herbert Dueñas Ruiz, Universidad Nacional de Colombia. Viernes 12 de noviembre, 4:00pm. Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: Se consideran funcionales lineales correspondientes a los polinomios ortogonales clásicos y se perturban mediante adición de masas y derivadas de masas de Dirac. Se estudian propiedades de los nuevos polinomios ortogonales, como propiedades asintóticas, ecuación diferencial holonómica, propiedades de los ceros e interpretaciones electrostáticas.

Como lo habíamos comentado en clase, les recomiendo la página Earliest Uses of Symbols for Constants , donde se narra la historia del uso de los símbolos con que se denotan diversas contantes matemáticas: $latex \pi,$ $latex e,$ $latex \gamma$ e $latex i$, entre otras. Para la constante $latex e$, por ejemplo, citan a Eli Maor. Why did he [Euler] choose the letter e ? There is no general consensus. According to one view, Euler chose it because it is the first letter of the word exponential. More likely, the choice came to him naturally as the first "unused" letter of the alphabet, since the letters a, b, c, and d frequently appear elsewhere in mathematics.

Tarea 12

Hoy lunes, algunos estudiantes y yo iremos a ver Ágora , la película de Alejandro Amenábar sobre la vida de la matemática Hipatia y la destrucción de la Biblioteca de Alejandría en el siglo IV. Iremos a la función de las 6:40pm en Cinépolis Zentralia . Están todos invitados.

Tarea 11

Tarea 10

Terry Tao publicó en su blog, con motivo de su curso Teoría de la medida , una colección de estrategias para resolver problemas de teoría de la medida. Algunas de estas estrategias las hemos visto, y usado, en nuestra clase. Les recomiendo la lectura de esta colección, que incluye una discusión de situaciones generales donde pueden aplicarlas.

Seminario CUICBAS. Por John P. Boyd, University of Michigan. Viernes, 22 de octubre, 2010. Auditorio de la Facultad de Ciencias. Abstract: Global spectral methods have been successful in many branches of science and engineering. The global weather forecasting model of the United States, for example, is a spherical harmonic spectral model in latitude and longitude. However, single domain spectral methods have been almost exclusively restricted to domains which are a tensor product (direct product) of line segments and circles. This allows the spectral basis functions to be the product of one-dimensional factors and the computational grid to be a tensor product of one-dimensional grids. Through partial summation, multidimensional sums and interpolations can be performed as a sequence of one-dimensional sums in interpolations had a huge saving in cost relative to the expense when there is no tensor product structure to be exploited. Furthermore, the multidimensional tensor product method...

Tarea 9

Tarea 8

El problema de restricción en análisis Seminario CUICBAS. Por Magali Folch Gabayet, IMATE - UNAM. Viernes, 8 de octubre, 2010. Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: Es un problema importante en análisis el de estudiar la relación que existe entre la norma de una función y la de su transformada de Fourier. En esta charla empezaremos hablando de esta relación en R n y en conjuntos compactos. Un problema mucho más interesante es cuando restringimos la transformada a superficies. Hablaremos del problema de restricción a la esfera y de su importancia por sus muchas aplicaciones. Terminaremos con el problema de restricción a curvas, hablando de un trabajo escrito en colaboración con los Drs. S Dendrinos y J. Wright.

Les paso el link al libro gratis Introduction to Real Analysis , de William Trench, que les puede servir como referencia (y ayuda extra para el examen).

Tarea 7

Los siguientes problemas corresponden a integración de funciones en $latex L^+$, en un espacio de medida $latex (X,\mathscr A,\mu)$. Problema 1. Sea $latex \phi\in L^+$ simple. Entonces, la función $latex \displaystyle A \mapsto \int_A \phi = \int \phi\cdot \chi_A,$ definida para $latex A\in\mathscr A$, es una medida. Problema 2. Generaliza el problema anterior a cualquier función $latex f\in L^+$. Problema 3. Encuentra una sucesión $latex \phi_n\in L^+$ tal que converge a $latex 0$ punto por punto, pero la sucesión de integrales $latex \displaystyle \int \phi_n$ no es acotada. Problema 4. Muestra que el Lema de Fatou implica el Teorema de Convergencia Monótona. Problema 5. Sea $latex f\in L^+$ tal que $latex \displaystyle \int f < \infty$. Entonces El conjunto $latex \{ x: f(x) = \infty\}$ es de medida cero. El conjunto $latex \{x : f(x) > 0\}$ es $latex \sigma$-finito. Problema 6. Sea $latex (f_n)$ tal que $latex f_n\to f$ y $latex \displaystyle \int f_n \to \int f ...

Tarea 6

Este miércoles 22 de septiembre, a las 3:00pm, tendremos una reunión de organización para la Conferencia Japón/México de Topología , en mi oficina, B-3. Les pedimos asistir a todos aquellos que han aceptado participar. Los estudiantes participantes que acreditarán Servicio Social incluyen: Josué Israel Mazariegos Lomelí Sandra Paola Hernández Pimentel Omar Antonio Ruiz Macías Norma Angélica Figueroa Soltero Israel Méndez López Karen Jazmín Ramos Gómez Por favor, pasen la voz a estas personas y demás voluntarios.

Sobre funciones medibles. Discutiremos la solución de estos problemas en la próxima clase, antes de iniciar el estudio de la integral de Lebesgue. Problema 1. Sea $latex (f_n)$ una sucesión de funciones medibles en $latex X$. Entonces, el conjunto $latex \{ x\in X: \lim f_n(x) \text{ existe} \}$ es medible. Problema 2. Si $latex f: X\to \overline\R$ es tal que $latex f^{-1}\big((r,\infty]\big)\in\mathscr A$ para cada $latex r\in\Q$, entonces $latex f$ es medible. Problema 3. Si $latex X = A\cup B$, con $latex A,B\in\mathscr A$, entonces una función $latex f$ en $latex X$ es medible si y solo si es medible en $latex A$ y en $latex B$ (vistos como subespacios de $latex X$). Problema 4. El supremo de un conjunto incontable de funciones medibles puede ser no medible. Problema 5. Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces es Borel medible.

Sobre medidas de Borel en $latex \R$. Problema 1. Sea $latex \mu$ una medida de Borel y $latex \mu(E) < \infty$. Entonces, para cada $latex \e>0$, existe una unión finita de intervalos abiertos $latex U$ tal que $latex \mu(E\triangle U) < \e$. Problema 2. Sea $latex F$ creciente y continua por la derecha, y sea $latex \mu_F$ la medida de Borel inducida por $latex F$. Entonces $latex \mu\big(\{ a \}\big) = F(a) - F(a-)$; $latex \mu\big([a,b)\big) = F(b-) - F(a-)$; $latex \mu\big([a,b]\big) = F(b) - F(a-)$; y $latex \mu\big( (a,b) \big) = F(b-) - F(a)$. Para $latex x\in\R$, $latex F(x-)$ es el límite de $latex F$ por la izquierda en $latex x$. Problema 3. Considera el conjunto no-medible $latex N$ discutido en clase, y sea $latex E$ un conjunto Lebesgue-medible. Si $latex E\subset N$, entonces $latex m(E) = 0$. Si $latex m(E)>0$, entonces $latex E$ contiene un subconjunto no medible. ( Sugerencia: Considera el caso $latex E\subset[0,1]$ y las intersecciones $l...

Tarea 5

Los invito a la conferencia Matemáticas e intuición , que impartiré mañana viernes 10 de septiembre a las 8:30pm en la Casa del Archivo Histórico del Municio de Colima , en Independencia #79, en el centro. En esta plática hablaré sobre cómo las matemáticas nos permiten corregir nuestra intuición en distintos problemas comunes. Incluiré ejemplos sobre cumpleaños, letras del alfabeto en el IFE, concursos de TV, cabras y exámenes de ADN.

Tarea 4

Terry Tao dará este semestre el curso introductorio de teoría de la medida en UCLA y estará publicando las notas de su curso en su blog. Ya ha iniciado con el prólogo , donde discute sobre el problema de la medida y la relación con la integral. Desde luego, recomiendo esta notas como referencia adicional en nuestro curso de fractales (primera parte), además de alentarlos a resolver los ejercios propuestos: 245A, prologue: The problem of measure .

Aquí va una lista adicional de problemas sobre teoría de la medida. Problema 1. Si $latex \mu_1, \ldots, \mu_n$ son medidas en $latex (X,\mathscr A)$ y $latex a_1,\ldots, a_n$ son números positivos, entonces la función $latex \displaystyle \sum_{k=1}^n a_n \mu_n$ es una medida en $latex (X,\mathscr A)$. Problema 2. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y $latex (E_n)$ es una sucesión en $latex \mathscr A$, entonces $latex \mu(\liminf E_n) \le \liminf \mu(E_n)$; Si $latex \mu(\bigcup_n E_n) < \infty$, entonces $latex \mu(\limsup E_n) \ge \limsup \mu(E_n)$. Problema 3. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y, para $latex A\in\mathscr A$, definimos $latex \mu_A$ en $latex \mathscr A$ como $latex \mu_A(E) = \mu(E\cap A)$, entonces $latex \mu_A$ es una medida en $latex (X,\mathscr A)$. Problema 4. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, entonces es semifinita. Problema 5. Si $latex \mu$ es la m...

Los siguientes ejercicios elaboran el concepto de $latex \sigma$-álgebra. Problema 1. Un álgebra $latex \mathscr A$ es una $latex \sigma$-álgebra si y solo si es cerrada bajo uniones disjuntas crecientes; es decir, si $latex E_n \in \mathscr A$ con $latex E_1 \subset E_2 \subset \ldots$, entonces $latex \bigcup_n E_n \in \mathscr A$. Problema 2. Sea $latex \mathscr A$ una $latex \sigma$-álgebra infinita. Entonces $latex \mathscr A$ contiene una sucesión infinita de conjuntos disjuntos; $latex \mathscr A$ es incontable. Problema 3. $latex \mathcal B_\R$ es generada por cada uno de las siguientes colecciones. Los intervalos abiertos $latex \mathcal E_1 = \{ (a,b): a < b, a,b\in\R \}$; Los intervalos cerrados $latex \mathcal E_2 = \{ [a,b]: a < b, a,b\in\R \}$; Los intervalos semiabiertos $latex \mathcal E_3 = \{ (a,b]: a < b, a,b\in\R \}$ y $latex \mathcal E_4 = \{ (a,b]: a < b, a,b\in\R \}$; Los rayos abiertos $latex \mathcal E_5 = \{ (a,\infty): a\in\R \}...

El seminario de Análisis en fractales se llevará a cabo en el salón B7 (ex-postdocs), a partir de las 3:00pm. Habrá café y galletas en mi oficina (B3) media hora antes de la clase (2:30pm).

Tarea 3

Tarea 2

Como tarea para esta semana, leer el primer capítulo del libro de Stein & Shakarchi, Real Analysis , sobre la medida de Lebesgue en $latex \R^n$ (el primer capítulo está disponible en la página del libro: Real Analysis ). Además, resolver los siguientes problemas. Problema 1. Sea $latex E \subset \R^n$ y $latex \mathcal O_n$ el conjunto $latex \mathcal O_n = \{ x: d(x,E) < 1/n \}.$ Si $latex E$ es compacto, entonces $latex m(E) = \lim_{n\to\infty} m(\mathcal O_n)$. Lo anterior puede ser falso si $latex E$ es solo acotado o solo cerrado. Problema 2. Da un ejemplo de un conjunto abierto $latex A\subset\R$ tal que la frontera de su cerradura tiene medida positiva. Problema 3. Sea $latex A\subset[0,1]$ el conjunto de números que no tienen el dígito 4 en su expansión decimal. Calcula $latex m(A)$. Problema 4 (Lema de Borel-Cantelli). Sea $latex \{E_n\}$ una colección contable de conjuntos medibles en $latex \R^n$ tales que $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty m(E_n) < \i...

Las notas Some elementary aspects of Hausdorff measure and dimension , escritas por Stephen Semmes de la Universidad Rice, pueden ser útiles como referencia para la clase de Análisis en fractales.

Tarea 1 Los problemas 1 y 2 se refieren a cualquier campo ordenado, mientras que los problemas 3,4 y 5 a los números reales. Noten que el símbolo $latex \ge$ significa $latex =$ ó $latex >$, donde $latex a > b$ significa $latex b < a$, desde luego.

Vamos a necesitar varios estudiantes que deseen realizar su Servicio Social interno ayudando en la coordinación de las actividades de la Conferencia Japón-México de Topología , a finales de septiembre. Por favor, comuníquense conmigo o con Andrés si están interesados.

El examen extraordinario de Análisis complejo será llevado a cabo el viernes 25 de junio a las 3:00pm.

Los invito a la conferencia pública El Gran Colisionador y el Higgs , impartida por Alfredo Aranda, el 11 de junio a las 20:30 en la Casa del Archivo Histórico del Municipio de Colima. El Gran Colisionador de Hadrones o Large hadron Collider es el instrumento científico más complejo jamás diseñado y construido. Durante los últimos meses ha entrado en las fases preliminares de operación y se espera que pronto esté en condiciones de llegar a capacidad para empezar a hacer ciencia. Dentro de las motivaciones para su construccion (la cual duró alrededor de 20 años) está la de poder obtener información que nos permita dar luz a algunas de las preguntas más fundamentales de la ciencia: ¿Qué es la masa?, ¿cómo se origina?, ¿cuál es su naturaleza? ¿Es la partícula de Higgs la responsable? ¿De qué está formado el universo?, ¿cuál es la naturaleza de la materia oscura? ¿Cómo era la naturaleza en los instantes posteriores al Big Bang? Para poder llevar a cabo este gran programa, se ...

Tarea 16

En la Tarea 14 de Análisis Complejo , el Problema 1 pedía mostrar que los lados del cuadrado imagen de la función, definida en $latex \mathbb H$, $latex \displaystyle z \mapsto \int_0^z \frac{d\zeta}{\sqrt{\zeta(\zeta^2 - 1)}}$ tienen longitud $latex \dfrac{\Gamma^2(1/4)}{2\sqrt{2\pi}}$. Todos los que entregaron la solución a este problema mostraron que se reduce a calcular la integral $latex \displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1 - x^2)}},$ aunque ninguno mostró cómo evaluarla. En Mathematica , el resultado es indicado como $latex \dfrac{2\sqrt{\pi}\Gamma(5/4)}{\Gamma(3/4)},$ del cual se sigue fácilmente el resultado utilizando las identidades $latex \displaystyle \Gamma(5/4) = \frac{1}{4}\Gamma(1/4) \qquad\text{ y }\qquad \Gamma(1/4)\Gamma(3/4) = \frac{\pi}{\sin \pi/4}.$ En esta nota les doy los detalles de cómo calcular esta integral.

Tarea 15

Tarea 15

Tarea 14

Tarea 14

Tarea 13

Tarea 13

Tarea 12

Tarea 12

Tarea 11

Tarea 11

Tarea 10

Tarea 10

Tarea 9

Tarea 9 Nota: Para el problema 5, envíenme el código de su programa modificado por correo electrónico.

Timothy Gowers ha publicado en su blog una reflexión sobre las demostraciones por contradicción. Se los recomiendo: When is proof by contradiction necessary?

Tarea 8

Tarea 8

Tarea 7

Tarea 7

Tarea 6

Tarea 6

Tarea 5

Tarea 5

Tarea 4

Tarea 4

Tarea 3

Tarea 3

Tarea 2

Tarea 2

Debido a una interrupción de las comunicaciones de la universidad, la página de los cursos no estará funcionando durante el sábado 6 de febrero.

Si les interesa realizar su Servicio Social en el Instituto Heisenberg , voy a necesitar algunos estudiantes (3-4) que me ayuden en la organización. Comuníquense conmigo si quieren participar.

Tarea 1

Este jueves, a las 10:00 de la mañana, Tarcila Viridiana Angulo Villa, acompañada de Sergio Fuentes Oseguera (guitarra), María de Jesús López Martínez (saxofón tenor) y Victor Manuel Uribe Vicente (clarinete y saxofón), nos presentará un recital con diversas piezas para clarinete y saxofón. El programa es el siguiente.

Aquí está la primer tarea del curso Probabilidad y teoría de números : Tarea 1 . Como sugerencia para los problemas 2 y 3: Utilizar inducción.