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Tarea 3, Análisis en fractales

Aquí va una lista adicional de problemas sobre teoría de la medida.

Problema 1. Si $latex \mu_1, \ldots, \mu_n$ son medidas en $latex (X,\mathscr A)$ y $latex a_1,\ldots, a_n$ son números positivos, entonces la función

$latex \displaystyle \sum_{k=1}^n a_n \mu_n$


es una medida en $latex (X,\mathscr A)$.

Problema 2. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y $latex (E_n)$ es una sucesión en $latex \mathscr A$, entonces

  • $latex \mu(\liminf E_n) \le \liminf \mu(E_n)$;

  • Si $latex \mu(\bigcup_n E_n) < \infty$, entonces $latex \mu(\limsup E_n) \ge \limsup \mu(E_n)$.


Problema 3. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y, para $latex A\in\mathscr A$, definimos $latex \mu_A$ en $latex \mathscr A$ como $latex \mu_A(E) = \mu(E\cap A)$, entonces $latex \mu_A$ es una medida en $latex (X,\mathscr A)$.

Problema 4. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, entonces es semifinita.

Problema 5. Si $latex \mu$ es la medida de conteo en $latex (\R, \mathscr P(\R))$, entonces $latex \mu$ es semifinita, pero no $latex \sigma$-finita.

Problema 6. Si $latex \mu^*$ es una medida exterior en $latex X$ y $latex (A_n)$ es una sucesión de conjuntos $latex \mu^*$-medibles disjuntos, entonces

$latex \displaystyle \mu^*\Big( E \cap \big( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \big) \Big) = \sum_{n=1}^\infty \mu^* (E \cap A_n)$


para todo $latex E\subset X$.

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