Los siguientes problemas corresponden a integración de funciones en $latex L^+$, en un espacio de medida $latex (X,\mathscr A,\mu)$.
Problema 1. Sea $latex \phi\in L^+$ simple. Entonces, la función $latex \displaystyle A \mapsto \int_A \phi = \int \phi\cdot \chi_A,$ definida para $latex A\in\mathscr A$, es una medida.
Problema 2. Generaliza el problema anterior a cualquier función $latex f\in L^+$.
Problema 3. Encuentra una sucesión $latex \phi_n\in L^+$ tal que converge a $latex 0$ punto por punto, pero la sucesión de integrales $latex \displaystyle \int \phi_n$ no es acotada.
Problema 4. Muestra que el Lema de Fatou implica el Teorema de Convergencia Monótona.
Problema 5. Sea $latex f\in L^+$ tal que $latex \displaystyle \int f < \infty$. Entonces
Problema 6. Sea $latex (f_n)$ tal que $latex f_n\to f$ y $latex \displaystyle \int f_n \to \int f < \infty$. Entonces, para cada $latex A\in\mathscr A$, $latex \displaystyle \int_A f_n \to \int_A f$. Sin embargo, esto no es necesariamente cierto si $latex \displaystyle \int f = \infty$.
Problema 7. Si $latex f\in L^+$ y $latex \displaystyle \int f < \infty$, entonces, para cada $latex \e>0$, existe $latex E\in\mathscr A$ tal que $latex \mu(E) < \infty$ y $latex \displaystyle \int_E f > \int f - \e$.
Problema 1. Sea $latex \phi\in L^+$ simple. Entonces, la función $latex \displaystyle A \mapsto \int_A \phi = \int \phi\cdot \chi_A,$ definida para $latex A\in\mathscr A$, es una medida.
Problema 2. Generaliza el problema anterior a cualquier función $latex f\in L^+$.
Problema 3. Encuentra una sucesión $latex \phi_n\in L^+$ tal que converge a $latex 0$ punto por punto, pero la sucesión de integrales $latex \displaystyle \int \phi_n$ no es acotada.
Problema 4. Muestra que el Lema de Fatou implica el Teorema de Convergencia Monótona.
Problema 5. Sea $latex f\in L^+$ tal que $latex \displaystyle \int f < \infty$. Entonces
- El conjunto $latex \{ x: f(x) = \infty\}$ es de medida cero.
- El conjunto $latex \{x : f(x) > 0\}$ es $latex \sigma$-finito.
Problema 6. Sea $latex (f_n)$ tal que $latex f_n\to f$ y $latex \displaystyle \int f_n \to \int f < \infty$. Entonces, para cada $latex A\in\mathscr A$, $latex \displaystyle \int_A f_n \to \int_A f$. Sin embargo, esto no es necesariamente cierto si $latex \displaystyle \int f = \infty$.
Problema 7. Si $latex f\in L^+$ y $latex \displaystyle \int f < \infty$, entonces, para cada $latex \e>0$, existe $latex E\in\mathscr A$ tal que $latex \mu(E) < \infty$ y $latex \displaystyle \int_E f > \int f - \e$.
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