Sobre funciones medibles. Discutiremos la solución de estos problemas en la próxima clase, antes de iniciar el estudio de la integral de Lebesgue.
Problema 1. Sea $latex (f_n)$ una sucesión de funciones medibles en $latex X$. Entonces, el conjunto
es medible.
Problema 2. Si $latex f: X\to \overline\R$ es tal que $latex f^{-1}\big((r,\infty]\big)\in\mathscr A$ para cada $latex r\in\Q$, entonces $latex f$ es medible.
Problema 3. Si $latex X = A\cup B$, con $latex A,B\in\mathscr A$, entonces una función $latex f$ en $latex X$ es medible si y solo si es medible en $latex A$ y en $latex B$ (vistos como subespacios de $latex X$).
Problema 4. El supremo de un conjunto incontable de funciones medibles puede ser no medible.
Problema 5. Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces es Borel medible.
Problema 1. Sea $latex (f_n)$ una sucesión de funciones medibles en $latex X$. Entonces, el conjunto
$latex \{ x\in X: \lim f_n(x) \text{ existe} \}$
es medible.
Problema 2. Si $latex f: X\to \overline\R$ es tal que $latex f^{-1}\big((r,\infty]\big)\in\mathscr A$ para cada $latex r\in\Q$, entonces $latex f$ es medible.
Problema 3. Si $latex X = A\cup B$, con $latex A,B\in\mathscr A$, entonces una función $latex f$ en $latex X$ es medible si y solo si es medible en $latex A$ y en $latex B$ (vistos como subespacios de $latex X$).
Problema 4. El supremo de un conjunto incontable de funciones medibles puede ser no medible.
Problema 5. Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces es Borel medible.
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