Como tarea para esta semana, leer el primer capítulo del libro de Stein & Shakarchi, Real Analysis, sobre la medida de Lebesgue en $latex \R^n$ (el primer capítulo está disponible en la página del libro: Real Analysis). Además, resolver los siguientes problemas.
Problema 1. Sea $latex E \subset \R^n$ y $latex \mathcal O_n$ el conjunto
Problema 2. Da un ejemplo de un conjunto abierto $latex A\subset\R$ tal que la frontera de su cerradura tiene medida positiva.
Problema 3. Sea $latex A\subset[0,1]$ el conjunto de números que no tienen el dígito 4 en su expansión decimal. Calcula $latex m(A)$.
Problema 4 (Lema de Borel-Cantelli). Sea $latex \{E_n\}$ una colección contable de conjuntos medibles en $latex \R^n$ tales que $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty m(E_n) < \infty.$
Sea $latex E = \{x\in\R^n: x\in E_n, \text{ para infinitos }n\} = \limsup_{n\to\infty} E_n.$
Problema 5. Toda función medible es el límite casi en todos lados de una sucesión de funciones continuas.
Problema 6. $latex E\in\R^n$ es medible si y solo si para todo $latex \e > 0$ existe un conjunto cerrado $latex F\subset E$ tal que $latex m_*(E\setminus F) < \e$.
Problema 1. Sea $latex E \subset \R^n$ y $latex \mathcal O_n$ el conjunto
$latex \mathcal O_n = \{ x: d(x,E) < 1/n \}.$
- Si $latex E$ es compacto, entonces $latex m(E) = \lim_{n\to\infty} m(\mathcal O_n)$.
- Lo anterior puede ser falso si $latex E$ es solo acotado o solo cerrado.
Problema 2. Da un ejemplo de un conjunto abierto $latex A\subset\R$ tal que la frontera de su cerradura tiene medida positiva.
Problema 3. Sea $latex A\subset[0,1]$ el conjunto de números que no tienen el dígito 4 en su expansión decimal. Calcula $latex m(A)$.
Problema 4 (Lema de Borel-Cantelli). Sea $latex \{E_n\}$ una colección contable de conjuntos medibles en $latex \R^n$ tales que $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty m(E_n) < \infty.$
Sea $latex E = \{x\in\R^n: x\in E_n, \text{ para infinitos }n\} = \limsup_{n\to\infty} E_n.$
- $latex E$ es medible.
- $latex m(E) = 0$.
Problema 5. Toda función medible es el límite casi en todos lados de una sucesión de funciones continuas.
Problema 6. $latex E\in\R^n$ es medible si y solo si para todo $latex \e > 0$ existe un conjunto cerrado $latex F\subset E$ tal que $latex m_*(E\setminus F) < \e$.
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