Tarea 2, Análisis en fractales

Los siguientes ejercicios elaboran el concepto de $latex \sigma$-álgebra.

Problema 1. Un álgebra $latex \mathscr A$ es una $latex \sigma$-álgebra si y solo si es cerrada bajo uniones disjuntas crecientes; es decir, si $latex E_n \in \mathscr A$ con $latex E_1 \subset E_2 \subset \ldots$, entonces $latex \bigcup_n E_n \in \mathscr A$.

Problema 2. Sea $latex \mathscr A$ una $latex \sigma$-álgebra infinita. Entonces

• $latex \mathscr A$ contiene una sucesión infinita de conjuntos disjuntos;


• $latex \mathscr A$ es incontable.

Problema 3. $latex \mathcal B_\R$ es generada por cada uno de las siguientes colecciones.

• Los intervalos abiertos $latex \mathcal E_1 = \{ (a,b): a < b, a,b\in\R \}$;


• Los intervalos cerrados $latex \mathcal E_2 = \{ [a,b]: a < b, a,b\in\R \}$;


• Los intervalos semiabiertos $latex \mathcal E_3 = \{ (a,b]: a < b, a,b\in\R \}$ y $latex \mathcal E_4 = \{ (a,b]: a < b, a,b\in\R \}$;


• Los rayos abiertos $latex \mathcal E_5 = \{ (a,\infty): a\in\R \}$ y $latex \mathcal E_6 = \{ (\infty,a): a\in\R \}$; y


• Los rayos cerrados $latex \mathcal E_5 = \{ [a,\infty): a\in\R \}$ y $latex \mathcal E_6 = \{ (\infty,a]: a\in\R \}$.

Problema 4. Si $latex X$ y $latex Y$ son espacios métricos separables, entonces $latex \mathcal B_X \otimes \mathcal B_Y = \mathcal B_{X\times Y}.$

Discutiremos su solución en clase. Vengan preparados.