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Soluciones al examen 2, Introducción al análisis

Problema 1. Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

  1. Si $latex f$ es diferenciable en todo su dominio, entonces $latex f'$ es continua. Falso. La función $latex f(x) = x^2 \sin\dfrac{1}{x},$ $latex x\not=0,$ $latex f(0)=0,$ es diferenciable pero $latex f'$ no es continua en cero.

  2. Si $latex f\cdot g$ es diferenciable, entonces $latex f$ y $latex g$ son diferenciables. Falso. Si $latex f=0$ y $latex g(x) = |x|,$ entonces $latex f\cdot g = 0$ es diferenciable, pero $latex g$ no lo es.

  3. Si $latex f\circ g$ es diferenciable, entonces $latex f$ y $latex g$ son diferenciables. Falso. Mismo ejemplo que en el anterior.

  4. Si las funciones $latex f$ y $latex g:[a,b]\to\R$ son Riemann-integrables, entonces $latex fg$ es Riemann-integrable. Verdadero. Visto en clase.

  5. Si las funciones $latex f$ y $latex g:[a,b]\to\R$ son Riemann-integrables y $latex g(x)\not=0$ para todo $latex x\in[a,b]$, entonces $latex f/g$ es Riemann-integrable. Falso. Si $latex f=1$ en $latex [0,1]$ y $latex g(x) = x,$ $latex x\not=0,$ $latex g(0)=0,$ entonces $latex f$ y $latex g$ son Riemann-integrables, pero $latex f/g(x) = \dfrac{1}{x},$ $latex x\not=0,$, $latex f/g(0)=1,$ no es acotada, así que no es Riemann-integrable.

  6. Si la función $latex f:[a,b]\to\R$ es diferenciable en todo $latex (a,b)$, entonces es Riemann-integrable. Falso. Considera la función $latex 1/g$ del ejemplo anterior.

  7. Si $latex \sum a_n$ converge, entonces $latex \sum |a_n| < \infty$. Falso. Si $latex a_n = \dfrac{(-1)^n}{n},$ entonces $latex \sum a_n$ converge pero $latex \sum |a_n|$ diverge.

  8. Si $latex \sum |a_n| < \infty$, entonces $latex \sum a_n$ converge. Verdadero. Teorema visto en clase.

  9. Si $latex \sum a_n x_0^n$ converge, entonces $latex \sum a_n (-x_0)^n$ converge. Falso. Considera $latex a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ y $latex x_0 = 1.$

  10. Si $latex R>0$ es el radio de convergencia de la serie $latex \sum a_n x^n$, entonces $latex \sum a_n R^n$ converge. Falso. Considera $latex a_n = \dfrac{1}{n}.$


Problema 2. 1. Enuncia el teorema de Rolle.

2. Utiliza el teorema de Rolle para mostrar que la ecuaci\'on

$latex 16 x^3-36 x^2+22 x-3=0$


tiene al menos una solución en $latex [0,1]$.

Solución: 1. Si $latex f:[0,1]\to\R$ es continua, diferenciable en $latex (a,b),$ y $latex f(a)=f(b)=0,$ entonces existe $latex c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=0.$

2. Consideramos la función $latex f:[0,1]\to\R$ dada por $latex f(x)=4x^4 - 12x^3 + 11x^2 - 3x.$ Entonces, como $latex f$ es un polinomio, es continua y diferenciable en $latex [0,1].$ Como $latex f(0)=f(1)=0$, entonces existe $latex c\in(0,1)$ tal que $f'(c) = 0,$ es decir, $latex 16 c^3-36 c^2+22 c-3=0.$

$latex \Box$


Problema 3. Sea $latex f:[a,b]\to\R$ Riemann-integrable, y considera su integral indefinida

$latex F(x) = \int_a^x f.$


Muestra que $latex F$ es uniformemente continua.

Solución: Como $latex f$ es Riemann-integrable, es acotada, por lo que existe $latex M>0$ tal que $latex |f(x)|\le M$ para todo $latex x\in[a,b].$ Entonces, dado $latex \e>0,$ tomamos $latex \delta = \dfrac{\e}{M}.$

Así que, si $latex x,y\in[a,b]$ son tales que $latex |x-y|<\delta,$,

$latex \displaystyle |F(x) - F(y)| \le \int_{\min\{x,y\}}^{\max\{x,y\}} |f| \le M|x-y| < M\delta = M\dfrac{\e}{M} = \e.$


Por lo tanto, $latex F$ es uniformemente continua.

$latex \Box$


Problema 4. Sea $latex b > 0$ y considera las funciones $latex f_n:[0,b]\to\R$ dadas por

$latex \displaystyle f_n(x) = \begin{cases}n^{3/2}x & 0 \le x \le \dfrac{1}{n}\\\dfrac{1}{\sqrt x} & \dfrac{1}{n} < x \le b.\end{cases}.$


Muestra que $latex \displaystyle\int f_n \to 2\sqrt b$, pero $latex f_n$ no converge a una función Riemann-integrable.

Solución: Por el teorema fundamental del cálculo, para cada $latex n,$ $latex \displaystyle\int f_n = 2\sqrt b - \dfrac{3}{2\sqrt n},$ por lo que $latex \displaystyle\int f_n \to 2\sqrt b.$

Pero, para cada $latex x\in[0,b],$ $latex f_n(x) \to f(x),$ donde

$latex \displaystyle f(x) = \begin{cases}0 & x=0\\\dfrac{1}{\sqrt{x}}&0<x\le b.\end{cases}$


La función $latex f$ no es acotada, así que no es Riemann-integrable.

$latex \Box$


Nota: Al límite $latex \displaystyle\int f_n \to 2\sqrt b$ se le llama integral impropia de $latex f.$

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