Tarea 4, Análisis en fractales

Sobre medidas de Borel en $latex \R$.

Problema 1. Sea $latex \mu$ una medida de Borel y $latex \mu(E) < \infty$. Entonces, para cada $latex \e>0$, existe una unión finita de intervalos abiertos $latex U$ tal que $latex \mu(E\triangle U) < \e$.

Problema 2. Sea $latex F$ creciente y continua por la derecha, y sea $latex \mu_F$ la medida de Borel inducida por $latex F$. Entonces

1. $latex \mu\big(\{ a \}\big) = F(a) - F(a-)$;


2. $latex \mu\big([a,b)\big) = F(b-) - F(a-)$;


3. $latex \mu\big([a,b]\big) = F(b) - F(a-)$; y


4. $latex \mu\big( (a,b) \big) = F(b-) - F(a)$.

Para $latex x\in\R$, $latex F(x-)$ es el límite de $latex F$ por la izquierda en $latex x$.

Problema 3. Considera el conjunto no-medible $latex N$ discutido en clase, y sea $latex E$ un conjunto Lebesgue-medible.

1. Si $latex E\subset N$, entonces $latex m(E) = 0$.


2. Si $latex m(E)>0$, entonces $latex E$ contiene un subconjunto no medible. (Sugerencia: Considera el caso $latex E\subset[0,1]$ y las intersecciones $latex E\cap N_r$, $latex r\in\Q\cap[0,1]$.

Problema 4. Si $latex E\in\mathcal L$ y $latex m(E)>0$, entonces, para cada $latex 0 < \alpha < 1$, existe un intervalo abierto $latex I$ tal que $latex m(E\cap I) > \alpha m(I)$.

Problema 5. Si $latex E\in\mathcal L$ y $latex m(E)>0$, entonces el conjunto

$latex E - E = \{ x - y: x,y\in E\}$

contiene un intervalo centrado en $latex 0$.