Tarea 10, Probabilidad 1

Fecha de entrega: 20 de abril

Problema 1

Se tiran dos dados. Sean $latex X$ y $latex Y$ el valor más grande y el más pequeño de ellos, respectivamente. Calcula la función de masa condicional de $latex Y$ dado $latex X=1,2,3,4,5,6.$ ¿Son estas variables independientes? Explica.

Problema 2

La función conjunta de densidad de las variables $latex X$ y $latex Y$ está dada por

$latex f(x,y) = x e^{-x(y+1)}, \qquad x,y > 0.$

1. Calcula la densidad condicional de $latex X$, dada $latex Y=y$.


2. Calcula la densidad condicional de $latex Y$, dada $latex X=x$.


3. Calcula la función de densidad de $latex Z = XY$.

Problema 3

Un jugador tira una moneda y un dado, ambos honestos. Si la moneda cae águila, gana el doble del valor del dado; si la moneda cae sello, gana la mitad del valor del dado. Calcula su ganancia esperada.

Problema 4

Sean $latex X,Y$ variables aleatorias independientes, con valores $latex 1, 2, \ldots, m,$ cada uno con la misma probabilidad. Muestra que

$latex \displaystyle E[|X- Y|] = \frac{m^2 - 1}{3m}.$

Problema 5

Un total de $latex n$ bolas, numeradas del $latex 1$ al $latex n$, se colocan en $latex n$ cajas, también numeradas del $latex 1$ al $latex n$. Cada bola $latex i$ puede ir, con igual probabilidad, a una de las cajas $latex 1, 2, \ldots, i.$

1. Encuentra el número esperado de cajas vacías.


2. Encuentra la probabilidad de que ninguna de las cajas está vacía.