Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 4 de marzo Problema 1. Sea $latex [L:K]$ primo. Entonces, si $latex K\subset M\subset L$, $latex M = K$ o $latex M=L$. Problema 2. Sea $latex [L:K]$ primo. Entonces $latex L:K$ es una extensión simple. Problema 3. Sea $latex L:K$ una extensión finita y $latex p$ un polinomio irreducible sobre $latex K$. Muestra que si $latex \partial p$ y $latex [L:K]$ son primos relativos, entonces $latex p$ no tiene ceros en $latex L$. Problema 4. Si $latex M:L$ y $latex L:K$ son extensiones algebraicas, ¿es $latex M:K$ una extensión algebraica? (Nota: las extensiones podrían ser infinitas.) Problema 5. Encuentra una base para $latex \Q(\sqrt{1+\sqrt 3}):\Q$ para calcular $latex [\Q(\sqrt{1+\sqrt 3}):\Q]$.

Fecha de entrega: 4 de marzo Problema 1. Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f:U\to\R$ diferenciable en $latex x_0\in U$. Entonces $latex f$ es continua en $latex x_0$. Problema 2. Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f,g:U\to\R$ tales que $latex f$ es continua en $latex x_0\in U$, $latex g$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex g(x_0) = 0$. Muestra que $latex fg$ es diferenciable en $latex x_0$. Problema 3. Calcula la derivada y el Jacobiano de cada una de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena primero, y utilizando derivadas parciales después. $latex (x,y) \mapsto (x^2 - y^2, 2xy)$, en cada punto $latex (x_0, y_0)\in\R^2$. $latex (x,y) \mapsto (\sen(x^2 + xy + y^2), e^{xy} )$, en cada punto $latex (x_0,y_0)\in\R^2$. Problema 4. Decimos que $latex f:\R^n\to\R$ es homogénea de grado $latex \alpha$ si $latex f(tx) = t^\alpha f(x)$, para $latex x\in\R^n$, $latex t>0$. Si además $latex f$ es diferenciable, muestra la fórmula de Euler $latex \d...

Cap3: Diferenciabilidad

Fecha de entrega: 25 de febrero Problema 1. Encuentra y describe los subcampos de $latex \C$ generados por los siguientes conjuntos: $latex \{ 0,1 \}$; $latex \{ 0 \}$; $latex \{\sqrt 2, \sqrt 3 \}$; y $latex \{ \sqrt[3]\pi \}$. Problema 2. Muestra que $latex 1, \sqrt 2, \sqrt 3$ y $latex \sqrt 6$ son linealmente independientes sobre $latex \Q$. Problema 3. Averigua si la extensión $latex \Q(\sqrt 5, \sqrt 7)$ es simple o no. Problema 4. Encuentra el polinomio mínimo sobre el campo dado de los siguientes números. $latex \dfrac{\sqrt 5 + 1}{2}$ sobre $latex \Q$; $latex \dfrac{i \sqrt 3 - 1}{2}$ sobre $latex \Q$; $latex \dfrac{i - \sqrt 3}{2}$ sobre $latex \Q$; y $latex \sqrt 3 + \sqrt 6$ sobre $latex \Q(\sqrt 2)$. Problema 5. Muestra que si $latex \alpha$ tiene polinomio mínimo $latex t^2 - 2$ sobre $latex \Q$ y $latex \beta$ tiene polinomio mínimo $latex t^2 - 4t + 2$ sobre $latex \Q$, entonces las extensiones $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex \Q(\beta):\Q$ son isomor...

Fecha de entrega: 25 de febrero Problema 1. Demuestra que la función $latex f:A\to\R^m$ es continua en $latex x\in A$ si y solo si cada una de sus componentes $latex f^i:A\to\R$ es continua en $latex x$. Problema 2. Considera la función en $latex \R^2$ definida por $latex \displaystyle f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0).\end{cases}$ Muestra que, aunque cada una de las funciones $latex x\to f(x,y_0)$ y $latex y\to f(x_0,y)$ son continuas en $latex \R$ para cualquier $latex x_0,y_0\in\R$, la función $latex f$ no es continua en $latex (0,0)$. Problema 3. Sea $latex f:A\to\R^m$ continua en $latex x_0\in A$ tal que $latex f(x_0)\not=0$. Entonces existe $latex \alpha>0$ y un conjunto abierto $latex U\subset\R^n$ tal que $latex 0\in U$ y $latex |f(x)| > \alpha$ para todo $latex x\in U\cap A$. Problema 4. Sea $latex f:A\to\R^m$ continua. Muestra que la función $latex |f|:A\to\R^m$ dada por $latex |f|(x) = |f(x)|$ es continua. Proble...

Fecha de entrega: 18 de febrero Problema 1. Encuentra un máximo factor común de cada uno de los siguientes pares de polinomios $latex f$ y $latex g$ sobre $latex \Q$. $latex f = x^7 - x^3 + 5, g = x^3 + 7$; $latex f = 4x^3 - 17x^2 + x -3, g = 2x + 5$; $latex f = x^4 - 1, g = x^2 + 1$; y $latex f = x^4 - 1, g = 3x^2 + 3x$; Problema 2. Expresa cada uno de los mcf encontrados en el problema anterior en la forma $latex uf + vg$. Problema 3. Decide la reducibilidad o irreducibilidad de los siguientes polinomios sobre el campo dado. $latex x^4 + 1$ sobre $latex \R$; $latex x^4 + 1$ sobre $latex \Q$; $latex x^3 + x^2 + x + 1$ sobre $latex \Q$; $latex x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ sobre $latex \Q$; Problema 4. Encuentra los ceros de los siguientes polinomios sobre $latex \Q$, sobre $latex \R$, y sobre $latex \C$. $latex x^3 + 1$; $latex x^3 - 6x^2 + 11x - 6$; $latex x^2 + 2$; $latex x^4 - 6x^2 + 11$; Problema 5. Decimos que un polinomio $latex f$ sobre $latex K\subset\C...

Fecha de entrega: 18 de febrero Problema 1. Sea $latex (x_k)$ una sucesión en $latex \R^n$ tal que $latex x_k\to L$ y $latex x_k\to M$. Muestra que $latex L = M$. Problema 2. Muestra que la sucesión $latex (x_k)$ es de Cauchy en $latex \R^n$ si y solo si cada sucesión $latex (x_k^i)$ es de Cauchy en $latex \R$. Problema 3. Muestra que toda sucesión de Cauchy en $latex \R^n$ converge, a través de los siguientes pasos. Si $latex (x_k)$ es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada. Sea $latex (x_k)$ una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge, digamos $latex x_{k_l} \to L$. Muestra que $latex x_k\to L$. Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para concluir que toda sucesión de Cauchy en $latex \R^n$ converge. Problema 4. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en $latex \R^n$ tiene un punto de acumulación. Problema 5. Considera, en $latex \R^n$, la cubierta $latex \{A_n\}_n$, $latex A_n = \{ x\in\R^n: \dfrac{1}{2n} < |x| < \dfrac{3}{2n}\},$ para la bo...

Aquí está el archivo del segundo capítulo de las notas: Cap2: Funciones de varias variables . También he corregido el archivo del primer capítulo: Cap. 1: El espacio euclidiano . Entre otros cambios, he activado los hiperlinks para acceder a ecuaciones, ejercicios, secciones, etc.

Fecha de entrega: 11 de febrero Problema 1. Sea $latex P(n)$ el número de arreglos de $latex n$ ceros y unos tales que los unos solo ocurren en grupos de tres o más. (El arreglo de $latex n$ ceros es válido.) Muestra que $latex P(n) = 2P(n-1) - P(n-2) + P(n-4)$. Muestra que $latex \dfrac{P(n+1)}{P(n)} \to x$, donde $latex x>0$ y satisface $latex x^4 - 2x^3 + x^2 - 1 = 0.$ Factoriza la ecuación cuártica en dos cuadráticas, y encuentra $latex x$. Problema 2. Muestra que $latex \sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2 - 11i} = 4$, escogiendo las raíces cúbicas apropiadas. Problema 3. Sea $latex p(x)\in\C[x]$ con coeficientes reales. Muestra que, si $latex r$ es una raíz de $latex p(x)$, entonces $latex \bar r$, el conjugado complejo de $latex r$, es raíz de $latex p(x)$. Muestra que existen $latex k, r_1, \ldots, r_k, s_{k+1}, t_{k+1}, \ldots, s_n, t_n\in\R$ tales que $latex p(x) = k(x - r_1) \cdots (x - r_k)(x^2 + s_{k+1}x + t_{k+1}) \cdots (x^2 + s_n x + t_n).$ Problema 4. Sean $la...

Fecha de entrega: 11 de febrero Problema 1. Muestra que un semiespacio es un conjunto abierto. Problema 2. Muestra que $latex U\in\R^n$ es abierto si, y solo si, para todo $latex x\in U$ existe $latex \e > 0$ tal que $latex B_\e(x)\subset U$. En otras palabras, podemos definir a los conjuntos abiertos en términos de bolas cerradas. Problema 3. Muestra las siguientes propiedades de conjuntos abiertos. Si $latex \{U_\alpha\}$ es una colección de conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la unión $latex \bigcup_\alpha U_\alpha$ es un conjunto abierto. Si $latex U_1, U_2, \ldots, U_k$ son conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la intersección $latex \bigcap_{i=1}^k U_i$ es un conjunto abierto. Problema 4. Muestra que $latex x$ es punto de acumulación de $latex A$ si, y solo si, para todo rectángulo abierto $latex R$ que contiene a $latex x$, $latex R\cap A\setminus\{x\} \not=\emptyset$. Problema 5. Muestra que, si $latex x\in(\text{fr } A)\setminus A$, entonces $latex ...

Problema 1: Los polinomios de Tchebichev de segundo tipo están definidos por $latex \displaystyle U_n(x) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}, \quad x=\cos\theta, \quad n\geqslant 0.$ Mostrar que $latex U_n(x)$ es un polinomio de grado $latex n$, y que $latex \displaystyle \int_{-1}^{1} U_n(x)U_m(x)(1-x^2)^{1/2}dx = \frac{\pi}{2}\delta_{n,m}.$ Problema 2: Sea $latex \mathcal{L}[x^n]=a^n, (n\geqslant0, a\in\mathbb C)$. Probar que no existe una SPO para $latex \mathcal{L}$. Problema 3: Sea $latex P_n(x)=x^n, (n\geqslant0)$. Mostrar que $latex \{P_n\}_{n\ge 0}$ no es una SPO. Problema 4: Sea $latex \mathcal{L}$ un funcional lineal asociado a $latex \{\mu_n\}_{n\ge 0}$, y sea $latex \tilde{\mathcal{L}}$ definido por  $latex \tilde{\mathcal{L}}[x^n]=\mathcal{L}[(ax+b)^n],$ con $latex a\neq0$, $latex n\geqslant0$. Si $latex \{P_n\}_{n\ge 0}$ es la SPO con respecto a $latex \mathcal{L}$, encontrar la SPO con respecto a $latex \tilde{\mathcal{L}}$.

Aquí va la primer lista de problemas del Seminario de análisis . Discutiremos algunos de ellos en clase. Problema 1: Sea $latex X$ un espacio de Banach y $latex T\in\mathcal L(X,X)$. Si $latex ||I - T|| < 1$, donde $latex I$ es el operador identidad, entonces $latex T$ es invertible y, además, la serie $latex \sum_0^\infty (I - T)^n$ converge a $latex T^{-1}$ en $latex \mathcal L(X,X).$ Si $latex T$ es invertible y $latex S\in\mathcal L(X,X)$ satisface $latex ||S - T|| < ||T^{-1}||^{-1},$ entonces $latex S$ es invertible. Notamos que (2) implica que el conjunto de operadores invertibles es abierto en $latex \mathcal L(X,X)$. Si $latex Y$ es un subespacio de $latex X$, el espacio cociente $latex X/Y$ se define como el espacio de las clases de equivalencia de la relación $latex x\sim y$ si, y solo si, $latex x - y\in Y,$ denotadas por $latex x + Y$, con operaciones $latex (x + Y) + (y + Y) = (x + y) + Y$, $latex \lambda (x + Y) = (\lambda x) + Y$. Problema 2: Sea $latex X$ un...

Fecha de entrega: 4 de febrero 2011 Problema 1. Muestra la desigualdad del triángulo inversa : Si $latex x,y\in\R^n$, $latex \big| |x| - |y|\big| \le |x-y|.$ Problema 2. Demuestra la identidad del palalelogramo : Si $latex x,y\in\R^n$, $latex |x|^2 + |y|^2 = \frac{1}{2}\big(|x+y|^2 + |x-y|^2 \big).$ Explica qué tiene que ver esta identidad con un paralelogramo. Problema 3. Muestra el teorema de Pitágoras : Si $latex x,y\in\R^n$ y $latex x\perp y$, $latex |x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2.$ Problema 4. Sea $latex V$ un subespacio de $latex \R^n$ y $latex x\in\R^n$. Si $latex y_1, y_2\in V$ son tales que $latex x - y_1 \perp z\qquad\text{ y } \qquad x - y_2 \perp z\quad$ para todo $latex z\in V$, muestra que $latex y_1 = y_2$. (Sugerencia: Calcula $latex |y_1 - y_2|$.) Problema 5. Muestra que, si $latex x_1,x_2\in\R^n$, el conjunto $latex \{x\in\R^n: |x - x_1| = |x - x_2| \}$ es un hiperplano.

Estaré publicando en la página las notas del curso Análisis de varias variables por capítulos, mientras las estoy editando. Aquí pueden encontrar el primero: Cap. 1: El espacio euclidiano .