Ricardo A. Sáenz

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Mostrando las entradas de febrero, 2011

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Tarea 4, Álgebra moderna 3

Fecha de entrega: 4 de marzo Problema 1. Sea

$[L:K]$ primo. Entonces, si

$K\subset M\subset L$ ,

$M = K$ o

$M=L$ . Problema 2. Sea

$[L:K]$ primo. Entonces

$L:K$ es una extensión simple. Problema 3. Sea

$L:K$ una extensión finita y

$p$ un polinomio irreducible sobre

$K$ . Muestra que si

$\partial p$ y

$[L:K]$ son primos relativos, entonces

$p$ no tiene ceros en

$L$ . Problema 4. Si

$M:L$ y

$L:K$ son extensiones algebraicas, ¿es

$M:K$ una extensión algebraica? (Nota: las extensiones podrían ser infinitas.) Problema 5. Encuentra una base para

$\Q(\sqrt{1+\sqrt 3}):\Q$ para calcular

$[\Q(\sqrt{1+\sqrt 3}):\Q]$ .

Tarea 5, Varias variables

Fecha de entrega: 4 de marzo Problema 1. Sea

$U\subset\R^n$ abierto y

$f:U\to\R$ diferenciable en

$x_0\in U$ . Entonces

$f$ es continua en

$x_0$ . Problema 2. Sea

$U\subset\R^n$ abierto y

$f,g:U\to\R$ tales que

$f$ es continua en

$x_0\in U$ ,

$g$ es diferenciable en

$x_0$ y

$g(x_0) = 0$ . Muestra que

$fg$ es diferenciable en

$x_0$ . Problema 3. Calcula la derivada y el Jacobiano de cada una de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena primero, y utilizando derivadas parciales después.

$(x,y) \mapsto (x^2 - y^2, 2xy)$ , en cada punto

$(x_0, y_0)\in\R^2$ .

$(x,y) \mapsto (\sen(x^2 + xy + y^2), e^{xy} )$ , en cada punto

$(x_0,y_0)\in\R^2$ . Problema 4. Decimos que

$f:\R^n\to\R$ es homogénea de grado

$\alpha$ si

$f(tx) = t^\alpha f(x)$ , para

$x\in\R^n$ ,

$t>0$ . Si además

$f$ es diferenciable, muestra la fórmula de Euler $latex \d...

Notas de Varias variables: Capítulo 3

Cap3: Diferenciabilidad

Tarea 3, Álgebra 3

Fecha de entrega: 25 de febrero Problema 1. Encuentra y describe los subcampos de

$\C$ generados por los siguientes conjuntos:

$\{ 0,1 \}$ ;

$\{ 0 \}$ ;

$\{\sqrt 2, \sqrt 3 \}$ ; y

$\{ \sqrt[3]\pi \}$ . Problema 2. Muestra que

$1, \sqrt 2, \sqrt 3$ y

$\sqrt 6$ son linealmente independientes sobre

$\Q$ . Problema 3. Averigua si la extensión

$\Q(\sqrt 5, \sqrt 7)$ es simple o no. Problema 4. Encuentra el polinomio mínimo sobre el campo dado de los siguientes números.

$\dfrac{\sqrt 5 + 1}{2}$ sobre

$\Q$ ;

$\dfrac{i \sqrt 3 - 1}{2}$ sobre

$\Q$ ;

$\dfrac{i - \sqrt 3}{2}$ sobre

$\Q$ ; y

$\sqrt 3 + \sqrt 6$ sobre

$\Q(\sqrt 2)$ . Problema 5. Muestra que si

$\alpha$ tiene polinomio mínimo

$t^2 - 2$ sobre

$\Q$ y

$\beta$ tiene polinomio mínimo

$t^2 - 4t + 2$ sobre

$\Q$ , entonces las extensiones

$\Q(\alpha):\Q$ y

$\Q(\beta):\Q$ son isomor...

Tarea 4, Varias variables

Fecha de entrega: 25 de febrero Problema 1. Demuestra que la función

$f:A\to\R^m$ es continua en

$x\in A$ si y solo si cada una de sus componentes

$f^i:A\to\R$ es continua en

$x$ . Problema 2. Considera la función en

$\R^2$ definida por

$\displaystyle f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0).\end{cases}$ Muestra que, aunque cada una de las funciones

$x\to f(x,y_0)$ y

$y\to f(x_0,y)$ son continuas en

$\R$ para cualquier

$x_0,y_0\in\R$ , la función

$f$ no es continua en

$(0,0)$ . Problema 3. Sea

$f:A\to\R^m$ continua en

$x_0\in A$ tal que

$f(x_0)\not=0$ . Entonces existe

$\alpha>0$ y un conjunto abierto

$U\subset\R^n$ tal que

$0\in U$ y

$|f(x)| > \alpha$ para todo

$x\in U\cap A$ . Problema 4. Sea

$f:A\to\R^m$ continua. Muestra que la función

$|f|:A\to\R^m$ dada por

$|f|(x) = |f(x)|$ es continua. Proble...

Tarea 2, Álgebra 3

Fecha de entrega: 18 de febrero Problema 1. Encuentra un máximo factor común de cada uno de los siguientes pares de polinomios

$f$ y

$g$ sobre

$\Q$ .

$f = x^7 - x^3 + 5, g = x^3 + 7$ ;

$f = 4x^3 - 17x^2 + x -3, g = 2x + 5$ ;

$f = x^4 - 1, g = x^2 + 1$ ; y

$f = x^4 - 1, g = 3x^2 + 3x$ ; Problema 2. Expresa cada uno de los mcf encontrados en el problema anterior en la forma

$uf + vg$ . Problema 3. Decide la reducibilidad o irreducibilidad de los siguientes polinomios sobre el campo dado.

$x^4 + 1$ sobre

$\R$ ;

$x^4 + 1$ sobre

$\Q$ ;

$x^3 + x^2 + x + 1$ sobre

$\Q$ ;

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ sobre

$\Q$ ; Problema 4. Encuentra los ceros de los siguientes polinomios sobre

$\Q$ , sobre

$\R$ , y sobre

$\C$ .

$x^3 + 1$ ;

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ;

$x^2 + 2$ ;

$x^4 - 6x^2 + 11$ ; Problema 5. Decimos que un polinomio

$f$ sobre $latex K\subset\C...

Tarea 3, Varias variables

Fecha de entrega: 18 de febrero Problema 1. Sea

$(x_k)$ una sucesión en

$\R^n$ tal que

$x_k\to L$ y

$x_k\to M$ . Muestra que

$L = M$ . Problema 2. Muestra que la sucesión

$(x_k)$ es de Cauchy en

$\R^n$ si y solo si cada sucesión

$(x_k^i)$ es de Cauchy en

$\R$ . Problema 3. Muestra que toda sucesión de Cauchy en

$\R^n$ converge, a través de los siguientes pasos. Si

$(x_k)$ es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada. Sea

$(x_k)$ una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge, digamos

$x_{k_l} \to L$ . Muestra que

$x_k\to L$ . Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para concluir que toda sucesión de Cauchy en

$\R^n$ converge. Problema 4. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en

$\R^n$ tiene un punto de acumulación. Problema 5. Considera, en

$\R^n$ , la cubierta

$\{A_n\}_n$ ,

$A_n = \{ x\in\R^n: \dfrac{1}{2n} < |x| < \dfrac{3}{2n}\},$ para la bo...

Notas de Varias variables: Capítulo 2

Aquí está el archivo del segundo capítulo de las notas: Cap2: Funciones de varias variables . También he corregido el archivo del primer capítulo: Cap. 1: El espacio euclidiano . Entre otros cambios, he activado los hiperlinks para acceder a ecuaciones, ejercicios, secciones, etc.

Tarea 1, Álgebra 3

Fecha de entrega: 11 de febrero Problema 1. Sea

$P(n)$ el número de arreglos de

$n$ ceros y unos tales que los unos solo ocurren en grupos de tres o más. (El arreglo de

$n$ ceros es válido.) Muestra que

$P(n) = 2P(n-1) - P(n-2) + P(n-4)$ . Muestra que

$\dfrac{P(n+1)}{P(n)} \to x$ , donde

$x>0$ y satisface

$x^4 - 2x^3 + x^2 - 1 = 0.$ Factoriza la ecuación cuártica en dos cuadráticas, y encuentra

$x$ . Problema 2. Muestra que

$\sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2 - 11i} = 4$ , escogiendo las raíces cúbicas apropiadas. Problema 3. Sea

$p(x)\in\C[x]$ con coeficientes reales. Muestra que, si

$r$ es una raíz de

$p(x)$ , entonces

$\bar r$ , el conjugado complejo de

$r$ , es raíz de

$p(x)$ . Muestra que existen

$k, r_1, \ldots, r_k, s_{k+1}, t_{k+1}, \ldots, s_n, t_n\in\R$ tales que

$p(x) = k(x - r_1) \cdots (x - r_k)(x^2 + s_{k+1}x + t_{k+1}) \cdots (x^2 + s_n x + t_n).$ Problema 4. Sean $la...

Tarea 2, Varias variables

Fecha de entrega: 11 de febrero Problema 1. Muestra que un semiespacio es un conjunto abierto. Problema 2. Muestra que

$U\in\R^n$ es abierto si, y solo si, para todo

$x\in U$ existe

$\e > 0$ tal que

$B_\e(x)\subset U$ . En otras palabras, podemos definir a los conjuntos abiertos en términos de bolas cerradas. Problema 3. Muestra las siguientes propiedades de conjuntos abiertos. Si

$\{U_\alpha\}$ es una colección de conjuntos abiertos en

$\R^n$ , entonces la unión

$\bigcup_\alpha U_\alpha$ es un conjunto abierto. Si

$U_1, U_2, \ldots, U_k$ son conjuntos abiertos en

$\R^n$ , entonces la intersección

$\bigcap_{i=1}^k U_i$ es un conjunto abierto. Problema 4. Muestra que

$x$ es punto de acumulación de

$A$ si, y solo si, para todo rectángulo abierto

$R$ que contiene a

$x$ ,

$R\cap A\setminus\{x\} \not=\emptyset$ . Problema 5. Muestra que, si

$x\in(\text{fr } A)\setminus A$ , entonces $latex ...

Problemas: Sucesiones de polinomios ortogonales

Problema 1: Los polinomios de Tchebichev de segundo tipo están definidos por

$\displaystyle U_n(x) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}, \quad x=\cos\theta, \quad n\geqslant 0.$ Mostrar que

$U_n(x)$ es un polinomio de grado

$n$ , y que

$\displaystyle \int_{-1}^{1} U_n(x)U_m(x)(1-x^2)^{1/2}dx = \frac{\pi}{2}\delta_{n,m}.$ Problema 2: Sea

$\mathcal{L}[x^n]=a^n, (n\geqslant0, a\in\mathbb C)$ . Probar que no existe una SPO para

$\mathcal{L}$ . Problema 3: Sea

$P_n(x)=x^n, (n\geqslant0)$ . Mostrar que

$\{P_n\}_{n\ge 0}$ no es una SPO. Problema 4: Sea

$\mathcal{L}$ un funcional lineal asociado a

$\{\mu_n\}_{n\ge 0}$ , y sea

$\tilde{\mathcal{L}}$ definido por

$\tilde{\mathcal{L}}[x^n]=\mathcal{L}[(ax+b)^n],$ con

$a\neq0$ ,

$n\geqslant0$ . Si

$\{P_n\}_{n\ge 0}$ es la SPO con respecto a

$\mathcal{L}$ , encontrar la SPO con respecto a

$\tilde{\mathcal{L}}$ .

Problemas: Funcionales en espacios normados

Aquí va la primer lista de problemas del Seminario de análisis . Discutiremos algunos de ellos en clase. Problema 1: Sea

$X$ un espacio de Banach y

$T\in\mathcal L(X,X)$ . Si

$||I - T|| < 1$ , donde

$I$ es el operador identidad, entonces

$T$ es invertible y, además, la serie

$\sum_0^\infty (I - T)^n$ converge a

$T^{-1}$ en

$\mathcal L(X,X).$ Si

$T$ es invertible y

$S\in\mathcal L(X,X)$ satisface

$||S - T|| < ||T^{-1}||^{-1},$ entonces

$S$ es invertible. Notamos que (2) implica que el conjunto de operadores invertibles es abierto en

$\mathcal L(X,X)$ . Si

$Y$ es un subespacio de

$X$ , el espacio cociente

$X/Y$ se define como el espacio de las clases de equivalencia de la relación

$x\sim y$ si, y solo si,

$x - y\in Y,$ denotadas por

$x + Y$ , con operaciones

$(x + Y) + (y + Y) = (x + y) + Y$ ,

$\lambda (x + Y) = (\lambda x) + Y$ . Problema 2: Sea

$X$ un...

Tarea 1, Varias variables

Fecha de entrega: 4 de febrero 2011 Problema 1. Muestra la desigualdad del triángulo inversa : Si

$x,y\in\R^n$ ,

$\big| |x| - |y|\big| \le |x-y|.$ Problema 2. Demuestra la identidad del palalelogramo : Si

$x,y\in\R^n$ ,

$|x|^2 + |y|^2 = \frac{1}{2}\big(|x+y|^2 + |x-y|^2 \big).$ Explica qué tiene que ver esta identidad con un paralelogramo. Problema 3. Muestra el teorema de Pitágoras : Si

$x,y\in\R^n$ y

$x\perp y$ ,

$|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2.$ Problema 4. Sea

$V$ un subespacio de

$\R^n$ y

$x\in\R^n$ . Si

$y_1, y_2\in V$ son tales que

$x - y_1 \perp z\qquad\text{ y } \qquad x - y_2 \perp z\quad$ para todo

$z\in V$ , muestra que

$y_1 = y_2$ . (Sugerencia: Calcula

$|y_1 - y_2|$ .) Problema 5. Muestra que, si

$x_1,x_2\in\R^n$ , el conjunto

$\{x\in\R^n: |x - x_1| = |x - x_2| \}$ es un hiperplano.

Notas de Varias variables: Capítulo 1

Estaré publicando en la página las notas del curso Análisis de varias variables por capítulos, mientras las estoy editando. Aquí pueden encontrar el primero: Cap. 1: El espacio euclidiano .