Fecha de entrega: 8 de abril
Problema 1. Muestra que los siguientes polinomios sobre $latex \Q$ no son solubles por radicales.
- $latex x^5 - 4x+2$
- $latex x^5 - 4x^2 + 2$
- $latex x^5 - 6x^2 + 3$
Problema 2. En general, si $latex N$ es un entero mayor que 1 y $latex p$ es primo, entonces el polinomio $latex x^5 - Npx + p$, sobre $latex \Q$, no es soluble por radicales.
Problema 3. Si $latex f$ es un polinomio irreducible sobre $latex K\subset\C$ y una de sus raíces es expresable por radicales, entonces $latex f$ es soluble sobre $latex K$.
Problema 4. Resuelve la ecuación $latex x^6 + 6x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 1 = 0$ por radicales. (Sugerencia: Utiliza el cambio de variable $latex u = x + \dfrac{1}{x}$ y la fórmula de Cardano.)
Problema 5. Da un ejemplo de una extensión radical $latex L:K$ y un campo intermedio $latex K\subset M\subset L$ tal que $latex M:K$ no es radical. (Sugerencia: Considera el problema anterior.)
En el problema 4 el cambio de variable que sugieres de u=x+1/x no esta mal por que como despejas a la x, yo digo que el 1/x debe ser una constante.
ResponderBorrarPrimero divide entre $latex x^3$, y escribe el resultado como un polinomio cúbico en $latex (x + \dfrac{1}{x})$.
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