Tarea 10, Álgebra 3

Fecha de entrega: 15 de abril

Problema 1. Muestra la propiedad asociativa de la suma y la propiedad distributiva de las operaciones definidas en clase, en la construcción de un campo de fracciones para un dominio entero.

Problema 2. Sea $latex D$ un dominio entero con campo de fracciones $latex F$. Muestra que cualquier monomorfismo $latex \psi:D\to K$, donde $latex K$ es un campo, se puede extender a un monomorfismo $latex \Psi:F\to K$ por medio de

$latex \Psi(a/b) = \psi(a)/\psi(b).$

Más aún, si $latex K$ es otro campo de fracciones para $latex D$, concluye que $latex K \cong F$.

Problema 3. ¿Para cuáles de los siguientes polinomios $latex m(x)$ existen extensiones $latex K(\alpha):K$ tales que $latex m(t) = \min_K(\alpha)$?

1. $latex m(t) = t^2 + 1, \quad K = \F_3$


2. $latex m(t) = t^2 + 1, \quad K = \F_5$

Problema 4. Muestra que existen ecuaciones cuadráticas en campos de característica 2 que no pueden descomponerse sobre extensiones agregando solo raíces cuadradas de elementos del campo.

Problema 5. Encuentra todos los polinomios cuadráticos irreducibles sobre $latex \F_3$, y construye todas las posibles extensiones simples de $latex \F_3$ agregando un elemento con polinomio mínimo cuadrático. Identifica cuáles de ellas son isomorfas.