Tarea 12, Cálculo 3

Fecha de entrega: 11 de noviembre

Problema 1

Utiliza diferenciación implícita para expresar $latex dy/dx$ en términos de $latex x$ y $latex y$. Indica cuándo esta derivada está bien definida.

1. $latex x^2y + x^3y^4 = 1$


2. $latex x e^y + y e^x = 2e$


3. $latex \log(x^2 + xy) = 1$

Problema 2

Encuentra $latex \partial y/\partial x$ en el punto especificado, si existe, considerando $latex z$ constante.

1. $latex \dfrac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = 1$ en $latex (-1, 3, 1)$


2. $latex \log(xyz) = 3$ en $latex (e, e^2, 1)$


3. $latex \sen x \cos y - \cos x \sen z = 0$ en $latex (\pi/2, 0, \pi/2)$

Problema 3

$latex x, y, u, \text{ y } v$ están relacionadas por las ecuaciones

$latex \begin{array}{rcl}xy & = & 2e^{uv}\\x + y&=& e^{u+v}.\end{array}$

Si $latex v$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el punto $latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Si $latex y$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto.

Problema 4

Sean $latex x, y, r, \theta$ relacionadas por

$latex \begin{array}{rcl}x & = & r \cos\theta\\y &=& r\sen\theta.\end{array}$

Muestra que

$latex \begin{array}{rclrcl}\dfrac{\partial r}{\partial x}&=&\cos\theta,&\qquad \dfrac{\partial \theta}{\partial x}&=&-\dfrac{1}{r}\sen\theta,\\\dfrac{\partial r}{\partial y}&=&\sen\theta,&\dfrac{\partial \theta}{\partial y}&=&\dfrac{1}{r}\cos\theta.\end{array}$

Problema 5

Para las variables del problema anterior, utiliza la regla de la cadena para demostrar que, si $latex f(x,y) = g(rm\theta)$, entonces

$latex \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial g}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}.$

Problema 6

Considera la transformación

$latex u = -x + \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad v = -x - \sqrt{x^2 + y^2}.$

Muestra que no es invertible en todos lados, y encuentra una región en el plano $latex xy$ en donde sí lo es.

Problema 7

Considera la transformación

$latex u = x^3 - y, \qquad v = 3x^3 + 2y.$

Muestra que esta transformación es invertible en todos lados, y que el Jacobiano es igual a cero en todos los puntos del eje $latex y$.

Problema 8

Considera la transformación

$latex u = e^x \cos y, \qquad v = e^x \sen y.$

Muestra que el Jacobiano de esta transformación es distinto de cero en todos lados. Sin embargo, muestra que la transformación no es inyectiva en $latex \R^2$.