Tarea 8, Cálculo 1

Fecha de entrega: 17 de octubre

Problema 1

Contesta las siguientes preguntas. Justifica tus respuestas.

1. ¿Existe una función diferenciable $f$ tal que $f(0) = 2, f(2) = 5$ y $f'(x) \le 1$ en $(0,2)$? Si no existe, ¿por qué no?


2. ¿Existe una función diferenciable $f$ que tome el valor 1 solo cuando $x= 0, 2\text{ y }3$, y que $f'(x) = 0$ solo cuando $x=-1, 3/4\text{ y }3/2$? Si no existe, ¿por qué?

Problema 2

Considera la función cuadrática $f(x) = Ax^2 + Bx + C$. Muestra que, para cualquier intervalo $[a,b]$, el valor de $c$ que verifica la conclusión del teorema del valor medio es $c = \dfrac{a + b}{2}$, el punto medio del intervalo.

Problema 3

Sean $f(x) = |x|, a = -1\text{ y }b = 1$. Muestra que no existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Explica por qué esto no contradice al teorema del valor medio.

Problema 4

Muestra los siguientes enunciados.

1. El polinomio $p(x) = 6x^5 + 15x + 1$ tiene exactamente una raíz real.


2. El polinomio $q(x) = x^3 + 9x^2 + 33x - 8$ tiene exactamente una raíz real.

Problema 5

Encuentra los intervalos en los cuales $f$ crece y en los cuales $f$ decrece.

1. $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$


2. $f(x) = x(x+1)(x+2)$


3. $f(x) = \dfrac{1}{|x-2|}$


4. $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}$


5. $f(x) = \dfrac{x-1}{x+1}$


6. $f(x) = \sqrt{\dfrac{2 +x}{1 + x}}$


7. $f(x) = \sqrt{\dfrac{3 - x}{x}}$


8. $f(x) = \cos^2 x$, para $0\le x\le \pi$


9. $f(x) = \sqrt 3 x - \cos 2x$, para $0\le x\le \pi$