Tarea 9, Varias variables

Fecha de entrega: 1 de abril

Problema 1. Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex f > 0$ en $latex (a,b)$ y $latex f(x) = 0$ para $latex x\notin(a,b)$.

Problema 2. Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex 0\le f\le 1$, $latex f(x)=0$ para $latex x\le a$ y $latex f(x)=1$ para $latex x\ge b$.

Problema 3. Sea $latex f\in C^\infty(\R)$ la función construida en clase tal que $latex f(x) > 0$ en $latex (-1,1)$ y $latex f(x) = 0$ si $latex x\notin (-1,1)$. Muestra que, si $latex x_0\in\R^n$ y $latex \delta >0$, la función $latex g:\R^n\to\R$ dada por

$latex g(x) = f\Big( \dfrac{|x-x_0|^2}{\delta^2}\Big)$

es $latex C^\infty(\R^n)$ y satisface que $latex g(x)>0$ si $latex x\in B_\delta^0(x_0)$ y $latex g(x)=0$ si $latex x \not\in B_\delta^0(x_0)$.

Problema 4. Sean $latex C,E\subset\R^n$ tales que $latex C$ es compacto, $latex E$ es cerrado y $latex C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe un conjunto compacto $latex D\subset\R^n$ tal que $latex C\subset D^0$ y $latex D \cap E = \emptyset$.

Problema 5. Sean $latex C,E\subset\R^n$ tales que $latex C$ es compacto, $latex E$ es cerrado y $latex C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R^n)$ tal que $latex f = 1$ en $latex C$ y $latex f = 0$ en $latex E$.