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Tarea 9, Varias variables

Fecha de entrega: 1 de abril


Problema 1. Sean a<b\R. Muestra que existe fC(\R) tal que f>0 en (a,b) y f(x)=0 para x(a,b).

Problema 2. Sean a<b\R. Muestra que existe fC(\R) tal que 0f1, f(x)=0 para xa y f(x)=1 para xb.

Problema 3. Sea fC(\R) la función construida en clase tal que f(x)>0 en (1,1) y f(x)=0 si x(1,1). Muestra que, si x0\Rn y δ>0, la función g:\Rn\R dada por

g(x)=f(|xx0|2δ2)


es C(\Rn) y satisface que g(x)>0 si xB0δ(x0) y g(x)=0 si xB0δ(x0).

Problema 4. Sean C,E\Rn tales que C es compacto, E es cerrado y CE=. Muestra que existe un conjunto compacto D\Rn tal que CD0 y DE=.

Problema 5. Sean C,E\Rn tales que C es compacto, E es cerrado y CE=. Muestra que existe fC(\Rn) tal que f=1 en C y f=0 en E.

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