Fecha de entrega: 1 de abril
Problema 1. Sean a<b∈\R. Muestra que existe f∈C∞(\R) tal que f>0 en (a,b) y f(x)=0 para x∉(a,b).
Problema 2. Sean a<b∈\R. Muestra que existe f∈C∞(\R) tal que 0≤f≤1, f(x)=0 para x≤a y f(x)=1 para x≥b.
Problema 3. Sea f∈C∞(\R) la función construida en clase tal que f(x)>0 en (−1,1) y f(x)=0 si x∉(−1,1). Muestra que, si x0∈\Rn y δ>0, la función g:\Rn→\R dada por
g(x)=f(|x−x0|2δ2)
es C∞(\Rn) y satisface que g(x)>0 si x∈B0δ(x0) y g(x)=0 si x∉B0δ(x0).
Problema 4. Sean C,E⊂\Rn tales que C es compacto, E es cerrado y C∩E=∅. Muestra que existe un conjunto compacto D⊂\Rn tal que C⊂D0 y D∩E=∅.
Problema 5. Sean C,E⊂\Rn tales que C es compacto, E es cerrado y C∩E=∅. Muestra que existe f∈C∞(\Rn) tal que f=1 en C y f=0 en E.
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