Tarea 6, Álgebra 3

Fecha de entrega: 18 de marzo

Problema 1. Determina los campos de descomposición $latex \Sigma$ de cada uno de los siguientes polinomios sobre $latex \Q$, y calcula $latex [\Sigma:\Q]$ en cada caso.

1. $latex x^3 - 1$


2. $latex x^4 + 5x^2 + 6$


3. $latex x^6 - 8$


4. $latex x^4 + 1$

Problema 2. Averigua cuáles de las siguientes extensiones son normales.

1. $latex \Q(i\sqrt 5):\Q$


2. $latex \Q(\sqrt[7]{5}):\Q$


3. $latex \Q(\sqrt{5},\sqrt[7]{5}):\Q(\sqrt[7]{5})$


4. $latex \R(i\sqrt 7):\R$

Problema 3. Muestra que toda extensión $latex L:K$ de grado 2 es normal.

Problema 4. Sea $latex f$ un polinomio de grado $latex n$ sobre $latex K$ y $latex \Sigma$ su campo de descomposición sobre $latex K$. Muestra que $latex [\Sigma:K]$ divide a $latex n!$.

Problema 5. Muestra que, si $latex f,g$ son polinomios, entonces

$latex D(fg) = Df\, g + f\, Dg,$

donde $latex Df$ es la derivada formal de $latex f$.