Problemas: espacios Lp

Aquí les paso una lista de problemas sobre espacios $latex L^p$ que seguimos estudiando en clase. Los últimos dos problemas incluyen algunos puntos que quedaron pendientes en clase.

Problema 1. Si $latex 1\le p<r\le\infty$, entonces $latex L^p\cap L^r$ es un espacio de Banach con norma $latex ||f|| = ||f||_p + ||f||_r$ y, si $latex p<q<r,$ la inclusión $latex L^p\cap L^r \to L^q$ es continua.

Problema 2. Si $latex 1\le p<r\le\infty$, entonces $latex L^p + L^r$ es un espacio de Banach con norma

$latex ||f|| = \inf\{||g||_p + ||h||_r: f = g+h \}$

y, si $latex p<q<r,$ la inclusión $latex L^q \to L^p\cap L^r$ es continua.

Problema 3. Sean $latex 0 < p_0 < p_1 \le \infty$. Encuentra ejemplos de funciones $latex f$ en $latex (0,\infty)$ (con medida de Lebesgue), tales que

1. $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p_0 < p < p_1$;


2. $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p_0 \le p \le p_1$; y


3. $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p < p_0$.

(Sugerencia: Considera funciones de la forma $latex x^{-a}|\log x|^b$.)

Problema 4. Si $latex f\in L^p\cap L^\infty$, $latex p<\infty$, es tal que $latex f\in L^q$ para todo $latex q>p$, entonces $latex ||f||_\infty = \lim_{q\to\infty} ||f||_q.$

Problema 5. Sea $latex 1\le p<\infty$. Si $latex ||f_n - f||_p \to 0$, entonces $latex f_n\to f$ en medida (para todo $latex \e < 0,$ $latex \mu(\{ x: |f_n(x) - f(x)|\ge\e\})\to 0)$, y por lo tanto existe una subsucesión que converge a $latex f$ c.s. Inversamente, si $latex f_n\to f$ en medida y $latex |f_n|\le g\in L^p$ para todo $latex n$, entonces $latex ||f_n - f||_p \to 0.$

Problema 6. Si $latex p\not= 2$ y $latex \dim L^p > 1$, entonces la norma de $latex L^p$ no es inducida por un producto interno. (Sugerencia: Muestra que falla la regla del paralelogramo.)

Problema 7. Sea $latex g\in L^\infty$. Entonces el operador $latex T$ definido por $latex Tf = fg$ es acotado en $latex L^p$, con norma $latex ||T|| \le ||g||_\infty$. Tenemos $latex ||T|| = ||g||_\infty$ si la medida es semifinita.

Problema 8. Si $latex 0 < p < 1$, la función $latex d(f,g) = \int |f-g|^p$ define una métrica en $latex L^p$ que lo hace un espacio completo.

Problema 9. Sea $latex \mu$ semifinita. Si $latex \mu(E) = \infty$, entonces para todo $latex M>0$ existe $latex F\subset E$ tal que $latex M < \mu(F) < \infty$. De manera inversa, si el conjunto $latex E$ y $latex M>0$ son tales que, para todo $latex F\subset E$ con $latex 0 < \mu(F) < \infty$, se satisface $latex \mu(F) \le M$, entonces $latex \mu(E)\le M$.

Problema 10. Sea $latex X$ incontable y $latex \mathcal M$ la $latex \sigma$-álgebra de conjuntos contables o co-contables; es decir

$latex \mathcal M = \{ E\subset X: E \text{ es contable o } X\setminus E \text{ es contable} \}.$

Sea $latex f$ una función $latex \mathcal M$-medible. Entonces $latex f$ es constante excepto en un conjunto contable, es decir, existe un conjunto contable $latex E\subset X$ tal que $latex f$ es constante en $latex X\setminus E$. (Sugerencia: Sigue los siguientes pasos:

1. Muestra que existen $latex n_1 < n_2$ tales que $latex f^{-1}((-\infty,n_1])$ es contable y $latex f^{-1}((-\infty,n_2])$ es incontable.


2. Sea $latex s = \sup\{ t\in\R: f^{-1}((-\infty,t])\text{ es contable} \}$. Muestra que $latex f^{-1}((-\infty,s])$ es incontable, y $latex f^{-1}((-\infty,s))$ es contable.


3. Concluye que $latex \{x\in X: f(x)\not= s\}$ es contable.)