Tarea 8, Varias variables

Fecha de entrega: 25 de marzo

Problema 1. Sea $latex f:[a,b]\to\R$ creciente. Si $latex x_1,\ldots,x_k\in[a,b]$ son distintos, muestra que

$latex \displaystyle \sum_{i=1}^k O(f,x_i) < f(b) - f(a).$

Problema 2. Sea $latex f:[a,b]\to\R$ creciente. Muestra que el conjunto

$latex \{ x\in [a,b]: f \text{ es discontinua en } x \}$

es de medida 0. Concluye entonces que toda función creciente en $latex [a,b]$ es Riemann-integrable. (Sugerencia: Muestra que dicho conjunto es, de hecho, contable.)

Problema 3. Muestra que si $latex C$ es de contenido 0, entonces es Jordan-medible.

Problema 4. Muestra que si $latex C$ es Jordan-medible y de medida 0, entonces $latex \int_C 1 = 0$.

Problema 5. Sea $latex f:[a,b]\times[c,d]\to\R$ continua tal que $latex D_2f$ existe y es continua. Define $latex F:[c,d]\to\R$ como

$latex \displaystyle F(y) = \int_a^b f(x,y) dx.$

Muestra que $latex \displaystyle F'(y) = \int_a^b D_2f(x,y) dx.$ (Sugerencia: Utiliza el teorema de Fubini.)