Tarea 6, Varias variables

Fecha de entrega: 11 de marzo

Problema 1. Sea $latex A\subset\R^n$ abierto y $latex f:A\to\R^n$ inyectiva y continuamente diferenciable tal que $latex \det f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in A$. Muestra que $latex f(A)$ es abierto y $latex f^{-1}:f(A)\to A$ es diferenciable. Muestra además que $latex f(B)$ es abierto para todo $latex B\subset A$ abierto.

Problema 2.

1. Sea $latex f:\R^2\to\R$ continuamente diferenciable. Muestra que $latex f$ no es inyectiva. (Sugerencia: Considera la función $latex g(x,y) = \big(f(x,y),y\big)$.)


2. Generaliza este resultado a funciones continuamente diferenciables $latex f:\R^n\to\R^m$, con $latex m<n$.

Problema 3. Sea $latex \emptyset \not= K\subsetneq\R^n$ un conjunto convexo cerrado no vacío tal que $latex \R^n\setminus K$ es convexo. Muestra que $latex K$ es un semiespacio cerrado.

Problema 4. Muestra que si $latex x$ se puede representar como combinación convexa de $latex x_0, x_1, \ldots, x_r$ de dos formas distintas, entonces los vectores $latex x_1 - x_0, x_2 - x_0,\ldots,x_r - x_0$ son linealmente dependientes.

Problema 5. Sean $latex f,g:K\to\R$ convexas y sea $latex h:K\to\R$ dada por $latex h(x) = \max\{f(x),g(x)\}$. Muestra que $latex h$ es convexa.