Tarea 5, Álgebra 3

Fecha de entrega: 11 de marzo

Problema 1. Escribe las siguientes expresiones en términos de los polinomios simétricos elementales en $latex x, y$ y $latex z.$

1. $latex x^2 + y^2 + z^2$


2. $latex x^2 y + x^2 z + x y^2 + y^2 z + x z^2 + y z^2$


3. $latex x^3 + y^3 + z^3$


4. $latex (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2$

Problema 2. Muestra que el grupo alternante $latex \mathbb A_n$ es generado por los 3-ciclos.

Problema 3. Muestra que todo elemento de $latex \mathbb A_5$ es producto de dos 5-ciclos, y concluye que es simple.

Problema 4. Resuelve la cuadrática general por radicales de Ruffini. (Sugerencia: Si $latex \alpha_1, \alpha_2$ son las raíces, muestra que $latex \alpha_1 - \alpha_2$ es un radical de Ruffini.)

Problema 5. Resuelve la cúbica general por radicales de Ruffini. (Sugerencia: Si $latex \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ son las raíces, muestra que $latex \alpha_1 + \omega \alpha_2 + \omega^2 \alpha_3$ y $latex \alpha_1 + \omega^2 \alpha_2 + \omega \alpha_3$ son Radicales de Ruffini, tomando el cubo de cada uno. No muestres explícitamente todos los cálculos, solo explica el procedimiento.)