En clase quedó pendiente la demostración de que el conjunto $latex \{1, \sqrt 3, \sqrt{1 + \sqrt 3}, \sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3} \}$ es una base para la extensión $latex \Q(\sqrt{1 + \sqrt 3})$ sobre $latex \Q$. Claramente generan la extensión. Mostraremos que son linealmente independientes.
Suponemos que
con $latex a, b, c, d\in \Q$. Si $latex c + d\sqrt{3} \not= 0$, entonces
con $latex p, q\in \Q$. Elevando al cuadrado obtenemos
de donde tenemos que $latex p^2 + 3q^2 = 1$ y $latex 2pq = 1$. Restando este par de ecuaciones,
así que $latex p = q = 0$ y entonces $latex a = b = 0$. Por lo tanto $latex (c + d\sqrt 3)\sqrt{1 + \sqrt 3} = 0,$ de donde se obtiene que $latex c \sqrt{1 + \sqrt 3} = - d\sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3},$ y entonces $latex c = -d\sqrt 3$, lo cual es imposible por que $latex \sqrt 3$ no es racional.
Por lo tanto $latex 1, \sqrt 3, \sqrt{1 + \sqrt 3}$ y $latex \sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3}$ son linealmente independientes.
Suponemos que
$latex a + b\sqrt 3 + c \sqrt{1 + \sqrt 3} + d \sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3} = 0,$
con $latex a, b, c, d\in \Q$. Si $latex c + d\sqrt{3} \not= 0$, entonces
$latex \sqrt{1 + \sqrt 3} = -\dfrac{a + b\sqrt 3}{c + d\sqrt 3} = p + q\sqrt 3,$
con $latex p, q\in \Q$. Elevando al cuadrado obtenemos
$latex 1 + \sqrt 3 = p^2 + 3 q^2 + 2pq\sqrt 3,$
de donde tenemos que $latex p^2 + 3q^2 = 1$ y $latex 2pq = 1$. Restando este par de ecuaciones,
$latex p^2 - 2pq + 3q^2 = (p - q)^2 + 2q^2 = 0,$
así que $latex p = q = 0$ y entonces $latex a = b = 0$. Por lo tanto $latex (c + d\sqrt 3)\sqrt{1 + \sqrt 3} = 0,$ de donde se obtiene que $latex c \sqrt{1 + \sqrt 3} = - d\sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3},$ y entonces $latex c = -d\sqrt 3$, lo cual es imposible por que $latex \sqrt 3$ no es racional.
Por lo tanto $latex 1, \sqrt 3, \sqrt{1 + \sqrt 3}$ y $latex \sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3}$ son linealmente independientes.
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