Ricardo A. Sáenz

Les recomiendo las entradas Subgroups of dihedral groups (1) y (2) del blog Abstract Algebra , donde muestran el teorema de Cavior: $latex D_{2n}$ tiene $latex \tau(n) + \sigma(n)$ subgrupos distintos, donde $latex \tau(n)$ es el número de divisores de $latex n$ y $latex \sigma(n)$ la suma de ellos. En particular, como ejemplo, calculan explícitamante todos los subgrupos de $latex D_{12}$.

Les paso esta página, que incluye una tabla de grupos finitos de order hasta 30: Groups of small order . Les será de utilidad a la hora de identificar grupos que aparecen en su tarea.

Fecha de entrega: 1 de abril Problema 1. Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex f > 0$ en $latex (a,b)$ y $latex f(x) = 0$ para $latex x\notin(a,b)$. Problema 2. Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex 0\le f\le 1$, $latex f(x)=0$ para $latex x\le a$ y $latex f(x)=1$ para $latex x\ge b$. Problema 3. Sea $latex f\in C^\infty(\R)$ la función construida en clase tal que $latex f(x) > 0$ en $latex (-1,1)$ y $latex f(x) = 0$ si $latex x\notin (-1,1)$. Muestra que, si $latex x_0\in\R^n$ y $latex \delta >0$, la función $latex g:\R^n\to\R$ dada por $latex g(x) = f\Big( \dfrac{|x-x_0|^2}{\delta^2}\Big)$ es $latex C^\infty(\R^n)$ y satisface que $latex g(x)>0$ si $latex x\in B_\delta^0(x_0)$ y $latex g(x)=0$ si $latex x \not\in B_\delta^0(x_0)$. Problema 4. Sean $latex C,E\subset\R^n$ tales que $latex C$ es compacto, $latex E$ es cerrado y $latex C\cap E = \emptyset$. Muestra que exis...

Fecha de entrega: 1 de abril Considera el campo de descomposición $latex K$ del polinomio $latex (x^3-2)(x^2-2)$ sobre $latex \Q$. Sea $latex G = \Gamma(K:\Q)$. Problema 1. Calcula $latex |G|$, e identifica el grupo $latex G$. ( Sugerencia: Indica el efecto que tiene un automorfismo en $latex \sqrt[3]{2}, \omega$ y $latex \sqrt 2$ por separado.) Problema 2. Calcula todos los subgrupos de $latex G$, e identifica los subgrupos normales. Problema 3. Calcula $latex H^\dag$ para cada subgrupo $latex H$ de $latex G$. Problema 4. Verifica que $latex H\lhd G$ si y solo si $latex H^\dag:\Q$ es una extensión normal. Problema 5. Para cada $latex H\lhd G$, identifica $latex G/H$ y los automorfismos de $latex H^\dag$.

Fecha de entrega: 25 de marzo Problema 1. Sea $latex L:K$ finita. Muestra que cualquier $latex K$-monomorfismo $latex L\to L$ es un automorfismo de $latex L$. Problema 2. Construye la cerradura normal de cada una de las siguientes extensiones. $latex \Q(\sqrt[5]{2}):\Q$ $latex \Q(\sqrt[3]{2}, \sqrt 2):\Q$ Problema 3. Encuentra el grupo de Galois de cada una de las extensiones del problema anterior. Problema 4. Encuentra el grupo de Galois de cada una de las cerraduras normales de las extensiones del problema anterior.

Fecha de entrega: 25 de marzo Problema 1 . Sea $latex f:[a,b]\to\R$ creciente. Si $latex x_1,\ldots,x_k\in[a,b]$ son distintos, muestra que $latex \displaystyle \sum_{i=1}^k O(f,x_i) < f(b) - f(a).$ Problema 2. Sea $latex f:[a,b]\to\R$ creciente. Muestra que el conjunto $latex \{ x\in [a,b]: f \text{ es discontinua en } x \}$ es de medida 0. Concluye entonces que toda función creciente en $latex [a,b]$ es Riemann-integrable. ( Sugerencia: Muestra que dicho conjunto es, de hecho, contable.) Problema 3. Muestra que si $latex C$ es de contenido 0, entonces es Jordan-medible. Problema 4. Muestra que si $latex C$ es Jordan-medible y de medida 0, entonces $latex \int_C 1 = 0$. Problema 5. Sea $latex f:[a,b]\times[c,d]\to\R$ continua tal que $latex D_2f$ existe y es continua. Define $latex F:[c,d]\to\R$ como $latex \displaystyle F(y) = \int_a^b f(x,y) dx.$ Muestra que $latex \displaystyle F'(y) = \int_a^b D_2f(x,y) dx.$ ( Sugerencia: Utiliza el teorema de Fubini.)

Capítulo 5: Integración.

Fecha de entrega: 18 de marzo Problema 1. Determina los campos de descomposición $latex \Sigma$ de cada uno de los siguientes polinomios sobre $latex \Q$, y calcula $latex [\Sigma:\Q]$ en cada caso. $latex x^3 - 1$ $latex x^4 + 5x^2 + 6$ $latex x^6 - 8$ $latex x^4 + 1$ Problema 2. Averigua cuáles de las siguientes extensiones son normales. $latex \Q(i\sqrt 5):\Q$ $latex \Q(\sqrt[7]{5}):\Q$ $latex \Q(\sqrt{5},\sqrt[7]{5}):\Q(\sqrt[7]{5})$ $latex \R(i\sqrt 7):\R$ Problema 3. Muestra que toda extensión $latex L:K$ de grado 2 es normal. Problema 4. Sea $latex f$ un polinomio de grado $latex n$ sobre $latex K$ y $latex \Sigma$ su campo de descomposición sobre $latex K$. Muestra que $latex [\Sigma:K]$ divide a $latex n!$. Problema 5. Muestra que, si $latex f,g$ son polinomios, entonces $latex D(fg) = Df\, g + f\, Dg,$ donde $latex Df$ es la derivada formal de $latex f$.

Fecha de entrega: 18 de marzo Problema 1. Sean $latex f,g:R\to\R$ Riemann-integrables tales que $latex f\le g$. Muestra que $latex \int f \le \int g$. Problema 2. Sea $latex f:R\to\R$ Riemann-integrable y $latex g:R\to\R$ tal que $latex g(x) = f(x)$ excepto a lo más un número finito de $latex x$. Muestra que $latex g$ es Riemann-integrable y $latex \int g = \int f$. Problema 3. a) Muestra que un conjunto no acotado no puede ser de contenido 0. b) Da un ejemplo de un conjunto cerrado de medida 0 que no sea de contenido 0. Problema 4. a) Si $latex C$ es de contenido 0, muestra que $latex \text{fr } C$ es de contenido 0. b) Sin embargo, da un ejemplo de un conjunto de medida 0 cuya frontera no sea de medida 0. Problema 5. Sea $latex f:R\to\R$ Riemann-integrable, $latex f\ge 0$ y tal que $latex \int f = 0$. Muestra que $latex \{x\in R:f(x)\not=0\}$ es de medida 0.

Aquí les dejo un corto, filmado por Scott Perry , sobre la vida de Evariste Galois . [youtube http://www.youtube.com/watch?v=WRhFW6p832o]

Cap4: Convexidad

Fecha de entrega: 11 de marzo Problema 1. Sea $latex A\subset\R^n$ abierto y $latex f:A\to\R^n$ inyectiva y continuamente diferenciable tal que $latex \det f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in A$. Muestra que $latex f(A)$ es abierto y $latex f^{-1}:f(A)\to A$ es diferenciable. Muestra además que $latex f(B)$ es abierto para todo $latex B\subset A$ abierto. Problema 2. Sea $latex f:\R^2\to\R$ continuamente diferenciable. Muestra que $latex f$ no es inyectiva. ( Sugerencia: Considera la función $latex g(x,y) = \big(f(x,y),y\big)$.) Generaliza este resultado a funciones continuamente diferenciables $latex f:\R^n\to\R^m$, con $latex m<n$. Problema 3. Sea $latex \emptyset \not= K\subsetneq\R^n$ un conjunto convexo cerrado no vacío tal que $latex \R^n\setminus K$ es convexo. Muestra que $latex K$ es un semiespacio cerrado. Problema 4. Muestra que si $latex x$ se puede representar como combinación convexa de $latex x_0, x_1, \ldots, x_r$ de dos formas distintas, entonces los vect...

Fecha de entrega: 11 de marzo Problema 1. Escribe las siguientes expresiones en términos de los polinomios simétricos elementales en $latex x, y$ y $latex z.$ $latex x^2 + y^2 + z^2$ $latex x^2 y + x^2 z + x y^2 + y^2 z + x z^2 + y z^2$ $latex x^3 + y^3 + z^3$ $latex (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2$ Problema 2. Muestra que el grupo alternante $latex \mathbb A_n$ es generado por los 3-ciclos. Problema 3. Muestra que todo elemento de $latex \mathbb A_5$ es producto de dos 5-ciclos, y concluye que es simple. Problema 4. Resuelve la cuadrática general por radicales de Ruffini. ( Sugerencia: Si $latex \alpha_1, \alpha_2$ son las raíces, muestra que $latex \alpha_1 - \alpha_2$ es un radical de Ruffini.) Problema 5. Resuelve la cúbica general por radicales de Ruffini. ( Sugerencia: Si $latex \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ son las raíces, muestra que $latex \alpha_1 + \omega \alpha_2 + \omega^2 \alpha_3$ y $latex \alpha_1 + \omega^2 \alpha_2 + \omega \alpha_3$ son Radicales de ...

En clase quedó pendiente la demostración de que el conjunto $latex \{1, \sqrt 3, \sqrt{1 + \sqrt 3}, \sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3} \}$ es una base para la extensión $latex \Q(\sqrt{1 + \sqrt 3})$ sobre $latex \Q$. Claramente generan la extensión. Mostraremos que son linealmente independientes. Suponemos que $latex a + b\sqrt 3 + c \sqrt{1 + \sqrt 3} + d \sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3} = 0,$ con $latex a, b, c, d\in \Q$. Si $latex c + d\sqrt{3} \not= 0$, entonces $latex \sqrt{1 + \sqrt 3} = -\dfrac{a + b\sqrt 3}{c + d\sqrt 3} = p + q\sqrt 3,$ con $latex p, q\in \Q$. Elevando al cuadrado obtenemos $latex 1 + \sqrt 3 = p^2 + 3 q^2 + 2pq\sqrt 3,$ de donde tenemos que $latex p^2 + 3q^2 = 1$ y $latex 2pq = 1$. Restando este par de ecuaciones, $latex p^2 - 2pq + 3q^2 = (p - q)^2 + 2q^2 = 0,$ así que $latex p = q = 0$ y entonces $latex a = b = 0$. Por lo tanto $latex (c + d\sqrt 3)\sqrt{1 + \sqrt 3} = 0,$ de donde se obtiene que $latex c \sqrt{1 + \sqrt 3} = - d\sqrt 3 \sqrt{1 + \sqrt 3},$ y entonces ...

Aquí les paso una lista de problemas sobre espacios $latex L^p$ que seguimos estudiando en clase. Los últimos dos problemas incluyen algunos puntos que quedaron pendientes en clase. Problema 1. Si $latex 1\le p<r\le\infty$, entonces $latex L^p\cap L^r$ es un espacio de Banach con norma $latex ||f|| = ||f||_p + ||f||_r$ y, si $latex p<q<r,$ la inclusión $latex L^p\cap L^r \to L^q$ es continua. Problema 2. Si $latex 1\le p<r\le\infty$, entonces $latex L^p + L^r$ es un espacio de Banach con norma $latex ||f|| = \inf\{||g||_p + ||h||_r: f = g+h \}$ y, si $latex p<q<r,$ la inclusión $latex L^q \to L^p\cap L^r$ es continua. Problema 3. Sean $latex 0 < p_0 < p_1 \le \infty$. Encuentra ejemplos de funciones $latex f$ en $latex (0,\infty)$ (con medida de Lebesgue), tales que $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p_0 < p < p_1$; $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p_0 \le p \le p_1$; y $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p < p_0$. ( Sugerencia: Cons...