Ricardo A. Sáenz

Esta es una lista de las principales ideas vistas en el curso, y que sirve como referencia para prepararse para cualquiera de los exámenes finales (ordinario, extraordinario, regularización). Números reales Propiedad arquimidiana Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Convergencia condicional Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex limsup$  Teorema de Abel Series de Fourier Núcleo de Dirichlet Lema de Riemann Teorema de Dirichlet Teoremas del cálculo V...

El segundo examen parcial es este viernes, y aquí tienen una guía del material cubierto que puede ayudarles a prepararse. Completitud de los reales Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Criterios de convergencia por comparación Criterios del cociente y la raíz Criterio de condensación de Cauchy; criterio p Criterio de la integral Convergencia condicional Series alternantes Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series hipergeométricas Criterio de Gauss Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M  de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex ...

La demostración del criterio de Gauss, para la convergencia de series hipergeométricas, visto en clase la encuentran en la página de recursos del texto:  Resources for A Radical Approach to Real Analysis

Aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen de mañana. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud:  principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo teorema de Bolzano-Weierstrass Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y mínimo de una función continua Fermat: derivada cero en extremos  Valor...

Cauchy Pueden leer completo el texto de Cauchy Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique  (Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica) en Google Books:  Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique . Cauchy enuncia el teorema del valor intermedio en la página 43, Teorema 4 de la sección 2 del capítulo 2. Ahí da la idea de la demostración, pero la demostración rigurosa la incluye en la página 460, donde utiliza el principio de intervalos encajados que vimos en clase. Estudiaremos esta demostración la próxima semana. Pueden encontrar partes de la traducción al inglés aquí:  Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation El texto Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal también lo pueden leer en Google Books:  Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal . La demostración del teorema del valor medio (incorrecta) que discutimos en clase se encuentra en las páginas 27-28. La versión más general la discute en el apéndice, a partir de la ...

Referencias adicionales de clase Pueden leer una traducción al inglés de la monografía de Fourier aquí:  The analytical theory of heat . La deducción de la ecuación del calor en equilibrio, $latex \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,$ (en tres dimensiones) la encuentran en la Sección IV del Capítulo II , mientras que la serie vista en clase la discute en las secciones II y III del Capítulo III . El título de la sección II es, de hecho, "Primer ejemplo del uso de una serie trigonométrica en la teoría del calor". Fourier estaba confiado en que no sería el único. En el siguiente link pueden encontrar el trabajo de Arquímedes sobre la parábola y su área:  Archimedes' quadrature of the parabola . Esas notas son parte de una traducción de las obras completas de Arquímedes. En ellas se establece que el área de la parábola es la serie $latex 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1...

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Bibliografía Clase 1: métodos de sumabilidad, teorema de Fejér Elias M. Stein, Rami Shakarchi,  Fourier Analysis: An Introduction , Princeton books.google.com.mx/books?id=FAOc24bTfGkC T. W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge books.google.com.mx/books?id=OcZ5iKsGrmoC Clase 2: transformada de Fourier, distribuciones Elias M. Stein, Guido Weiss,  Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton books.google.com.mx/books?id=xnIwDAAAQBAJ Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons books.google.com.mx/books?id=wI4fAwAAQBAJ Clase 3: multiplicador de la bola Elias M. Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton books.google.com.mx/books?id=ljcOSMK7t0EC Javier Enrique Sáenz Casas, La conjetura de Kakeya, Tesis e...

Dentro del repositorio Open Math Notes de la AMS , acaban de subir las notas Linear Algebra, de Andrew D. Hwang . Las notas tienen un nivel más básico que el de su clase de álgebra lineal aquí en la facultad, pero sí les pueden servir como referencia. Las pueden descargar en: Linear Algebra . En el repositorio hay notas de diversos temas. Échenles un vistazo.

Les recomiendo el post  Timeless Note-Taking Systems for Students , publicado en el blog de  Evernote , con recomendaciones para tomar notas en sus clases (no es necesario usar la aplicación, obviamente). El post incluye enlaces a recomendaciones preparadas por diversas universidades, sugerencias de escritura, y algunas ideas para identificar la información relevante a tomar nota.

Les recomiendo este texto en línea:  Mathematical Reasoning: Writing and Proof , de Ted Sundstrom. El material de estas dos semanas de clase es, más o menos, el contenido de los primeros cinco capítulos del libro. Liga:  Mathematical Reasoning: Writing and Proof .

Esta semana no asignaré tarea, pero aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen del viernes. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud: equivalencia de principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo toda sucesión de Cauchy converge Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y ...

The proof of Schauder's fixed point theorem we saw in class was, sadly, incomplete, as the approximating functions defined on the finite dimensional convex sets were not well defined. Here is a correct proof of the theorem. Theorem (Schauder).   Let $latex V$ be a compact convex subset of the Banach space $latex X$ and $latex f:V\to V$ continuous. Then $latex f$ has a fixed point. Proof. For a given $latex n\in\Z_+$, let $latex x_1, \ldots, x_k\in V$ be such that $latex \displaystyle V\subset\bigcup_i^k B_{1/n}(x_i)$. Such $latex x_i$ exist because $latex V$ is compact. Define, for each $latex i$, the functions $latex \lambda_i:V\to\R$ by $latex \lambda_i(x) = \begin{cases}1/n-||x_i - x||& x\in B_{1/n}(x_i)\\0 & \text{otherwise.}\end{cases}$ The functions $latex \lambda_i$ are continuous and $latex \sum_i \lambda_i(x)\not=0$ for every $latex x\in V$. Thus, if we define $latex \pi_n(x) = \dfrac{\sum \lambda_i(x)x_i}{\sum\lambda_i(x)}$, $latex \pi_n$ maps $latex V$ into the ...

Para los asistentes a mi curso Análisis en fractales en el ISAA 2014 , aquí les dejo links a las referencias bibliográficas. Para iniciar, el texto de Strichartz es esencial. Contiene explicaciones detalladas de la construcción de la estructura armónica en el triángulo de Sierpinski, la métrica de resistencia efectiva y el método de decimación. Robert Strichartz,  Differential Equations on Fractals: A Tutorial , Princeton University Press, 2006 También recomiendo el artículo original de Dalrymple, Strichartz y Vinson, con las construcciones de las funciones armónicas, las eigenfunciones de Dirichlet y soluciones a las ecuaciones de calor y onda. Kyallee Dalrymple, Robert S. Strichartz, Jade P. Vinson, Fractal differential equations on the Sierpinski gasket, J. Fourier Analysis and Applications 5  No. 2-3 (1999), 203-284 doi:10.1007/BF01261610 El texto de Kigami desarrolla la teoría abstracta en conjuntos autosimilares postcríticamente finitos. Jun Kigami, Analysis on Fractals, Cambrid...

Aquí les dejo el  Mathematica Notebook  que usamos en clase sobre el método de Newton-Raphson: MetodoNewton.nb Para poder leerlo, necesitan  Mathematica , que está instalado en algunas computadoras del módulo de cómputo de la facultad, o pueden instalar  CDF Player .

El martes pasado discutimos en la clase de probabilidad la paradoja del hijo favorito donde, si a una madre de dos hijos se le ve con una niña, entonces la probabilidad de que tenga dos niñas depende de la manera en que ella decide a cuál de sus hijos sacar a la calle. La probabilidad también depende del nombre de la niña. He hablado de esto en mi blog: La importancia de llamarse Ernesto La importancia de llamarse Ernesto, II

Richard Bass , de la Universidad de Connecticut, puso en su página las notas de algunas de sus clases: Lecture Notes . Entre ellas están las notas de su clase de probabilidad de licenciatura. Como utilizó, al igual que nosotros, el libro de Ross, sus notas les pueden servir a ustedes también. Échenles un vistazo. Están en el link  Undergraduate probability (from Ross' book)  de su página.

El lunes pasado, en la clase Cálculo 1 , vimos el teorema de Rolle. Hace años escribí un texto de Michel Rolle en el blog. Les paso el link: Michel Rolle .

Les recomiendo las entradas Subgroups of dihedral groups (1) y (2) del blog Abstract Algebra , donde muestran el teorema de Cavior: $latex D_{2n}$ tiene $latex \tau(n) + \sigma(n)$ subgrupos distintos, donde $latex \tau(n)$ es el número de divisores de $latex n$ y $latex \sigma(n)$ la suma de ellos. En particular, como ejemplo, calculan explícitamante todos los subgrupos de $latex D_{12}$.

Les paso esta página, que incluye una tabla de grupos finitos de order hasta 30: Groups of small order . Les será de utilidad a la hora de identificar grupos que aparecen en su tarea.

Aquí les dejo un corto, filmado por Scott Perry , sobre la vida de Evariste Galois . [youtube http://www.youtube.com/watch?v=WRhFW6p832o]